Skalarprodukt

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist definiert als

• ihre komponentenweise Multiplikation und die

• anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In beiden Fällen wird

• die $\color{#ff6600}{\text{ 1. Komponente}}$ von $\vec{a}$ mit der $\color{#ff6600}{\text{ 1. Komponente}}$ von $\vec{b}$,

• die $\color{#660099}{\text{ 2. Komponente }}$von $\vec{a}$ mit der $\color{#660099}{\text{ 2. Komponente }}$von $\vec{b}$

und im Raum auch

• die $\color{#006400}{\text{ 3. Komponente }}$ von $\vec{a}$ mit der $\color{#006400}{\text{ 3. Komponente }}$von $\vec{b}$

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec b$!

$\vec a=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\;\;\;\; \vec b=\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}$

Wende die Definition an und du erhältst:

$\vec a\circ\vec b=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}=-3\cdot7 +2\cdot11 = -21 + 22 = 1$

Das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt somit $1$.

Verwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, genau dann, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt. Du hast also

$\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a\circ\vec b=0$

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander stehen!

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

Da ihr Skalarprodukt $0$ ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

Im Raum

$\left|\vec a\right|=\sqrt{\vec a\circ\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ a_3^2}$

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge $0$ hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors $\vec{a}$.

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von $\vec a$ mit sich selbst:

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors $\vec a$.

Der Vektor $\vec a$ besitzt also die Länge $5$.

Winkel zwischen Vektoren

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder $\vec{a}$ noch $\vec{b}$ gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren $\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ und $\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

$\vec{a}\circ\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0=1$.

Als Nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2}=1$

$|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

$\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}\right)=45^\circ$

Der Winkel $\varphi$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist also $45^\circ$.