Vektor- oder Kreuzprodukt

Das Vektorprodukt ist die Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

Häufig wird das Vektorprodukt auch mit "Kreuzprodukt" bezeichnet.

Mathematisch ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ definiert als

\displaystyle \vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}

Der dadurch erhaltene Vektor $\vec c$ steht auf $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht ( $\vec c\perp \vec a$ und $\vec c\perp \vec b$ ).

Er hat die Länge $\left|\vec{c}\right|=|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\varphi)$ , wobei $\varphi$ der Winkel ist, den $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen. Der Wert $|\vec{c}|$ entspricht dem Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms.

Beispiel

Für $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ ist das Kreuzprodukt $\vec c=\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot4\\1\cdot2-1\cdot1\\1\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$

Wir können eine erste Probe dadurch machen, dass das Kreuzprodukt auf den Faktoren senkrecht stehen muss, das Skalarprodukt muss also Null sein:

$\vec{a}\circ\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\1\\0 \end{pmatrix}=-2+2+0=0 \;\checkmark$

$\vec{b}\circ\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\4\\1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\1\\0 \end{pmatrix}=-4+4+0=0\;\checkmark$

Schema zum Berechnen

Um nicht die ganze Formel auswendig lernen zu müssen, gibt es folgenden Trick:

1) Man schreibt die oberen zwei Zeilen noch einmal unter die Vektoren:

\displaystyle \vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}

2) Anschließend fängt man bei der 2. und 3. Zeile an und verrechnet zwei Zeilen immer folgendermaßen:

( $\color{red}\text{links oben $\cdot$ rechts unten}$ ) $-$ ( $\color{blue}\text{links unten $\cdot$ rechts oben}$ ).

Dies ist dann die erste Zeile des neuen Vektors.

\displaystyle \vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}

Wir rechnen $\color{red}{2\cdot 1}-\color{blue}{1\cdot 4}=\color{green}{-2}$ , also $\begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{green}{-2}\\?\\? \end{pmatrix}$

3) Damit haben wir den ersten Eintrag des Kreuzprodukts gefunden. Den zweiten finden wir mit demselben Verfahren aus den dritten und vierten Zeilen der Vektoren:

\displaystyle \vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}

Wir rechnen $\color{red}{1\cdot 2}-\color{blue}{1\cdot 1}=\color{green}{1}$ , also $\begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-2}\\\color{green} 1\\? \end{pmatrix}$

4) Für den dritten Eintrag des Kreuzprodukts machen wir dasselbe mit den vierten und fünften Zeilen der Vektoren:

\displaystyle \vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}

Wir rechnen $\color{red}{1\cdot 4}-\color{blue}{2\cdot 2}=\color{green}{0}$ , also $\begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-2}\\ 1\\\color{green}0\end{pmatrix}$

Damit haben wir das Kreuzprodukt berechnet.

Eigenschaften

Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ!

Jedoch gelten folgende Gesetze:

$\vec a\times(\vec b+\vec{c})=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c$
$(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$ (Distributivgesetze)
$\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)$
$( r\cdot\vec{a})\times\vec{ b}\;= r\cdot(\vec{ a}\times\vec{ b})=\vec{ a}\times( r\cdot\vec{ b})$

Übungsaufgaben: Vektor- oder Kreuzprodukt

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