Vektor- oder Kreuzprodukt

Das Vektorprodukt ist die Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht.

Häufig wird das Vektorprodukt auch mit "Kreuzprodukt" bezeichnet.

Mathematisch ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren a=(a1a2a3)\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} und b=(b1b2b3)\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} definiert als

a×b=(a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1)\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}.

Der dadurch erhaltene Vektor c\vec c steht auf a\vec a und b\vec b senkrecht (ca\vec c\perp \vec a und cb\vec c\perp \vec b).

Er hat die Länge c=a×b=absin(φ)\left|\vec c\right|=|\vec a\times\vec b| = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\sin(\varphi), wobei φ\varphi der Winkel ist, den a\vec a und b\vec b aufspannen. Der Wert c|\vec c| entspricht dem Flächeninhalt des von a\vec a und b\vec b aufgespannten Parallelogramms.

Beispiel

Für a=(121)\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} und b=(241)\vec b=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix} ist das Kreuzprodukt c=a×b=(211412111422)=(210)\vec c=\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot4\\1\cdot2-1\cdot1\\1\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}

Schema zum Berechnen

Um nicht die ganze Formel auswendig lernen zu müssen, gibt es folgenden Trick:

Man schreibt die oberen zwei Zeilen noch einmal unter die Vektoren.

Anschließend fängt man bei der 2. Zeile an und verrechnet zwei Zeilen immer folgendermaßen:

 

(links oben \cdot rechts unten) - (links unten \cdot rechts oben).

 

Dies ist dann die erste Zeile des neuen Vektors.

Nun rechnet man nach dem gleichen Schema die zweite und die dritte Zeile des neuen Vektors aus, indem man mit der 3. bzw. 4. Zeile anfängt.

Eigenschaften

Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ !

Jedoch gelten folgende Gesetze:

  • (a+b)×c=a×c+b×c(\vec a+\vec b)\times\vec c=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c   (Distributivgesetze)


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