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Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz gilt dann, wenn man die einzelnen Elemente in ihrer Reihenfolge vertauschen kann, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.

Das Kommutativgesetz ist erfüllt bei der Addition und der Multiplikation, nicht aber bei der Subtraktion und der Division.

Kommutativgesetz der Addition

Auf die Addition angewendet besagt das Kommutativgesetz:

In einer Summe kann man die Summanden in ihrer Reihenfolge beliebig vertauschen, ohne dass sich am Wert der Summe etwas ändert.

Man sagt auch: "Die Addition ist kommutativ."

Rechenbeispiele

5+2=75+2=7 und 2+5=72+5=7

(−8)+(−2)=−10\left(-8\right)+\left(-2\right)=-10 und (−2)+(−8)=−10\left(-2\right)+\left(-8\right)=-10

mit positiven und negativen Zahlen

(−6)+(+4)=−2(-6)+(+4)=-2 und (+4)+(−6)=−2(+4)+(-6)=-2

14+58=58+14=78\frac{1}{4}+\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+\frac{1}{4}=\frac{7}{8}

Das Kommutativgesetz der Addition gilt nicht nur beim Rechnen mit Zahlen, sondern auch beim Rechnen mit Variablen:

  • x+2y=2y+xx + 2y = 2y + x

  • 3x+8+15x+20=(Kommutativgesetz)3x+15x+8+20=18x+283x+8+15x+20\underset{\text{(Kommutativgesetz)}}{=}3x+15x+8+20=18x+28

Kommutativgesetz der Addition im Alltag

Bild

Das Kommutativgesetz der Addition ist von der alltäglichen Erfahrung her vertraut und selbstverständlich:

Wenn man zum Beispiel in eine Tüte erst drei Äpfel hineinlegt, und danach noch zwei weitere Äpfel hinzufügt, sind in der Tüte natürlich genauso viele Äpfel, als wie wenn man erst die zwei Äpfel hineingelegt und danach die drei Äpfel hinzugefügt hätte.

Kommutativgesetz der Multiplikation

Auf die Multiplikation angewendet besagt das Kommutativgesetz:

In einem Produkt kann man die Faktoren in ihrer Reihenfolge beliebig vertauschen, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert.

Man sagt auch: "Die Multiplikation ist kommutativ."

Rechenbeispiele

5⋅2=105\cdot2=10 und ebenso 2⋅5=102\cdot5=10

(−8)⋅(−2)=16\left(-8\right)\cdot\left(-2\right)=16 und (−2)⋅(−8)=16\left(-2\right)\cdot\left(-8\right)=16

Ein Schüler soll die Fläche eines Papierblattes berechnen. Das Blatt ist  20 cm20\,\text{cm} lang und 30 cm30\,\text{cm}  breit. Die Formel für die Fläche ist: Fla¨che=La¨nge⋅Breite\text{Fläche}=\text{Länge}\cdot\text{Breite}. Nach dem Kommutativgesetz kann der Schüler aber auch Fla¨che=Breite⋅La¨nge\text{Fläche}=\text{Breite}\cdot\text{Länge} benutzen und das Ergebnis bleibt gleich.

  • Fla¨che=La¨nge⋅Breite=20 cm⋅30 cm=600cm2\text{Fläche} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} = 20\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 600 \text{cm}^2

  • Fla¨che=Breite⋅La¨nge=30 cm⋅20 cm=600cm2\text{Fläche} = \text{Breite} \cdot \text{Länge} = 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600 \text{cm}^2

Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz im Video

In diesem Video wird unter anderem das Kommutativgesetz erklärt und mit Hilfe von Beispielen vertieft.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

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