Was ist ein Bruch?

Brüche setzen sich aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten) zusammen, die durch einen waagerechten Bruchstrich getrennt werden.

Arten von Brüchen

Man unterscheidet

Außerdem gibt es noch die Begriffe

  • Stammbruch (Zähler ist 1)

  • Doppelbruch (im Zähler und / oder im Nenner steht selbst wieder ein Bruch).

Rechnen mit Brüchen

Eine Zusammenfassung der Regeln, wie man mit Brüchen rechnet, findet man im Artikel

Genaueres findet man jeweils in folgenden Artikeln:

Bedeutung eines Bruches

Einen Bruch kann man in verschiedener Hinsicht verstehen:

  • Man kann damit die Größe eines Anteils an einem Ganzen ausdrücken.

  • Man kann einen Bruch als andere Schreibweise für eine Geteilt-durch-Rechnung oder Division verstehen.

  • Man kann mit einem Bruch das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander ausdrücken.

1. Bruch zur Angabe der Größe eines Anteils

Mit Brüchen kann man ausdrücken, dass von etwas nicht ein Ganzes, sondern nur ein Teil eines Ganzen gemeint ist, und dazu sagen, wie groß dieser Teil sein soll.

Beispiel:

Der Bruch

34=\dfrac{3}{4}= "drei Viertel"

Der Kreis wurde in 4 Teile unterteilt; jedes Teil ist ein Viertel des Kreises.

Wenn 3 der 4 Teile ausgewählt werden, sind das drei Viertel des Kreises.

Im Nenner steht, in wie viele Teilstücke insgesamt das Ganze unterteilt wurde.

Im Zähler steht, wie viele Teilstücke ausgewählt sind.

Der Nenner des Bruches "benennt" die Art der Anteile.

Der Zähler "zählt", wie viele ausgewählt sind.

2. Bruch als "Geteilt-durch"-Rechnung

Die Bruchschreibweise ist eine andere Schreibweise für die Division, wobei der Zähler der Dividend und der Nenner der Divisor ist.

"Bruchstrich" bedeutet "geteilt durch".

Beispiel: 73=7:3\frac73= 7:3

Jeder Bruch kann als Divisionsaufgabe und jede Divisionsaufgabe kann als Bruch geschrieben werden.

Daraus folgt, dass jede ganze Zahl als Bruch geschrieben werden kann, da ja zum Beispiel 7=7:1=717=7:1=\frac71 ist.

3. Bruch als Verhältnis zweier Zahlen zueinander

Brüche sind eine Möglichkeit, Verhältnisse anzugeben. Dabei stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen.

Beispiel:

"35\frac35 der Äpfel sind grün" kann sowohl "33 von 55 Äpfeln sind grün" als auch "99 von 1515 Äpfeln sind grün" bedeuten.

Die Menge der Äpfel unterscheidet sich, aber das Verhältnis 35\frac35 bleibt gleich.

Die Vorstellung als Verhältnis kann später beim Erweitern von Brüchen hilfreich sein.

Null im Nenner

Der Nenner eines Bruchs darf nie Null werden!

Aber warum nicht?

Gegeben: 105\frac{10}5

Als Ergebnis würden wir eine 22 erhalten, da 10:5=210:5=2

Im Umkehrschluss gilt dann logischerweise auch 52=105\cdot2=10

Gegeben: 100\frac{10}0

Angenommen, die Lösung von 10:010:0 wäre eine Zahl x\mathrm x .Dann würde wie oben gelten: x0=10\mathrm x\cdot0=10 .

Da aber jede Multiplikation mit 00 wieder 00 ergibt, ist die Gleichung falsch und für keine Zahl x\mathrm x lösbar.

Es gibt deshalb auch keine Lösung für 10:010:0 - der Bruch ist nicht definiert.

        \;\;\Rightarrow\;\; Weil der Umkehrschluss nicht gilt, ist auch die Division durch Null nicht erlaubt!

Andere Begründung, warum Nenner nicht Null werden darf

Aus der Grundschule kennt man die Vorstellung der Division als Aufteilen oder Verteilen. Die Aufgabe 12:412:4 kann man also auffassen als "1212 Bonbons werden gerecht an 44 Kinder verteilt. Wieviele Bonbons bekommt ein Kind?"

Bei einer Aufgabe wie 12:012:0 bzw. 120\frac{12}{0} müssten die Bonbons also an 00 Kinder verteilt werden. Da Bonbons aber nicht einfach so verschwinden, man sie also nicht an niemanden verteilen kann, macht diese Aufgabe keinen Sinn.

Anschauliche Darstellungen

Kreisdarstellung

Im ersten Schritt stellt man sich einen ausgefüllten Kreis vor.

Diesen betrachtet man als 1, für 1 Ganzes.

Diesen Kreis unterteilt man nun in 8 gleich große Teile.

Eines dieser "Kuchenstücke" hat nun im Bezug auf den ganzen Kreis noch die Größe  18\frac18 .

Zählt man nun 3 dieser Kuchenstücke zusammen, so hat man  18+18+18=318=38\frac18+\frac18+\frac18=3\cdot\frac18=\frac38

Darstellung am Zahlenstrahl

Will man Brüche am Zahlenstrahl darstellen, so muss man die Intervalle zwischen den ganzen Zahlen geeignet teilen.

Für den Bruch 38\frac38 benötigt man zum Beispiel 8 Abschnitte. Der Bruch wird dann, weil der Zähler 3 ist, bei dem Strich nach dem dritten Abschnitt eingetragen. Weitere Beispiele findet man im Artikel Zahlengerade.

Video zum Thema Bruch

Inhalt wird geladen…

Übungsaufgaben

Inhalt wird geladen…

Inhalt wird geladen…

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner Aufgaben zur graphischen Veranschaulichung von Bruchteilen

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Kurse

Videos


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?