Intervalle

Mit der Intervallschreibweise kann man einen zusammenhängenden Bereich der reellen Zahlen einfach darstellen. Jedes Intervall hat eine Unter- sowie Obergrenze und alle Zahlen, die zwischen diesen Grenzen liegen, gehören automatisch zum Intervall hinzu.

Man kann auch entsprechende Teilmengen der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} durch Intervalle beschreiben.

Intervallgrenzen

Jedes Intervall braucht eine obere sowie eine untere Grenze. Die beiden Grenzen werden jeweils durch einen Strichpunkt getrennt aufgeschrieben. Bei der Schreibweise der Grenzen unterscheidet man die zwei folgenden Möglichkeiten:

  • Gehört die Grenze zum Intervall hinzu, ist der Wert eingeschlossen (inklusive). Dies wir mit einer [ ]\left[\ \right]-Klammer gekennzeichnet, welche zum Wert hinweist.

    • Beispiel: [3;7]\left[3;7\right] - Die Grenzen 33 und 77 gehören zum Intervall hinzu.

  • Gehört die Grenze nicht zum Intervall hinzu, ist der Wert ausgeschlossen (exklusive). Dies wird entweder mit einer [ ][\ ]-Klammer, welche vom Wert wegweist, oder mit einer ( )(\ )-Klammer gekennzeichnet.

    • Beispiel: ]3;7[]3;7[ ist dasselbe wie (3;7)(3;7) - Die Grenzen 33 und 77 gehören nicht zum Intervall hinzu.

Beispiel

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel eines Intervalls an. Um ein Intervall grafisch zu veranschaulichen, können wir dieses auch auf einer Zahlengerade aufzeichnen.

Intervall: [2;9[[2;9[

In diesem Intervall sind alle Zahlen zwischen 22 und 99 enthalten, wobei die 22 eingeschlossen und die 99 ausgeschlossen ist. Dies kann auf der Zahlengerade mit einem ausgefüllten Punkt für eingeschlossen und einem kleinen Kreis für ausgeschlossen markiert werden.

Arten von Intervallen

Beschränkte Intervalle

Beschränkte Intervalle haben eine mit einer Zahl festgelegte Unter- sowie Obergrenze.

Name

Intervall

Mengenschreibweise

Beschreibung

offenes Intervall

alle Zahlen zwischen aa und bb, aa und bb ausgeschlossen

abgeschlossenes Intervall

alle Zahlen zwischen aa und bb, aa und bb eingeschlossen

halboffenes (rechtsoffenes) Intervall

alle Zahlen zwischen aa und bb, aa eingeschlossen und bb ausgeschlossen

halboffenes (linksoffenes) Intervall

alle Zahlen zwischen aa und bb, aa ausgeschlossen und bb eingeschlossen

Unbeschränkte Intervalle

Unbeschränkte Intervalle haben eine mit einer Zahl festgelegte Unter- oder Obergrenze und führen auf der gegenüberliegenden Seite bis ins Unendliche (\infty). Da -\infty und ++\infty keine Zahlen sind, sondern nur das Unendliche kennzeichnen, sind sie immer vom Intervall ausgeschlossen.

Name

Intervall

Mengenschreibweise

Beschreibung

linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall

alle Zahlen, die kleiner oder gleich bb sind

linksseitig unendliches offenes Intervall

alle Zahlen, die kleiner als bb sind

rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall

alle Zahlen, die größer oder gleich aa sind

rechtsseitig unendliches offenes Intervall

alle Zahlen, die größer als aa sind

Auch die gesamten reellen Zahlen R=(,)\R=(-\infty,\infty) sind ein beidseitig unendliches Intervall.

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