Intervalle

Mit der Intervallschreibweise kann man einen zusammenhängenden Bereich der reellen Zahlen einfach darstellen. Jedes Intervall hat eine Unter- sowie Obergrenze und alle Zahlen, die zwischen diesen Grenzen liegen, gehören automatisch zum Intervall hinzu.

Man kann auch entsprechende Teilmengen der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ durch Intervalle beschreiben.

Intervallgrenzen

Jedes Intervall braucht eine obere sowie eine untere Grenze. Die beiden Grenzen werden jeweils durch einen Strichpunkt getrennt aufgeschrieben. Bei der Schreibweise der Grenzen unterscheidet man die zwei folgenden Möglichkeiten:

Gehört die Grenze zum Intervall hinzu, ist der Wert eingeschlossen (inklusive). Dies wird mit einer $\left[\ \right]$ -Klammer gekennzeichnet, welche zum Wert hinweist.
- Beispiel: $\left[3;7\right]$ - Die Grenzen $3$ und $7$ gehören zum Intervall hinzu.

Gehört die Grenze nicht zum Intervall hinzu, ist der Wert ausgeschlossen (exklusive). Dies wird entweder mit einer $]\ [$ -Klammer, welche vom Wert wegweist, oder mit einer $(\ )$ -Klammer gekennzeichnet.
- Beispiel: $]3;7[$ ist dasselbe wie $(3;7)$ - Die Grenzen $3$ und $7$ gehören nicht zum Intervall hinzu.

Beispiel

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel eines Intervalls an. Um ein Intervall grafisch zu veranschaulichen, können wir dieses auch auf einer Zahlengeraden aufzeichnen.

Intervall: $[2;9[$

In diesem Intervall sind alle Zahlen zwischen $2$ und $9$ enthalten, wobei die $2$ eingeschlossen und die $9$ ausgeschlossen ist. Dies kann auf der Zahlengeraden mit einem ausgefüllten Punkt für eingeschlossen und einem kleinen Kreis für ausgeschlossen markiert werden.

Arten von Intervallen

Beschränkte Intervalle

Beschränkte Intervalle haben eine mit einer Zahl festgelegte Unter- sowie Obergrenze.

Name	Intervall	Mengenschreibweise	Beschreibung
offenes Intervall	$]a;b[\;=\;(a;b)$	$\left\{x\in\mathbb{R} \mid a < x < b\right\}$	alle Zahlen zwischen $a$ und $b$ , $a$ und $b$ ausgeschlossen
abgeschlossenes Intervall	$[a;b]$	$\left\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\right\}$	alle Zahlen zwischen $a$ und $b$ , $a$ und $b$ eingeschlossen
halboffenes (rechtsoffenes) Intervall	$[a;b[\;=\;[a;b)$	$\left\{x \in \mathbb{R} \mid a\leq x < b\right\}$	alle Zahlen zwischen $a$ und $b$ , $a$ eingeschlossen und $b$ ausgeschlossen
halboffenes (linksoffenes) Intervall	$]a;b]\;=\;(a;b]$	$\left\{x\in\mathbb{R} \mid a < x \leq b\right\}$	alle Zahlen zwischen $a$ und $b$ , $a$ ausgeschlossen und $b$ eingeschlossen

Unbeschränkte Intervalle

Unbeschränkte Intervalle haben eine mit einer Zahl festgelegte Unter- oder Obergrenze und führen auf der gegenüberliegenden Seite bis ins Unendliche ( $\infty$ ). Da $-\infty$ und $+\infty$ keine Zahlen sind, sondern nur das Unendliche kennzeichnen, sind sie immer vom Intervall ausgeschlossen.

Name	Intervall	Mengenschreibweise	Beschreibung
linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall	$]-\infty;b]\;=\;(-\infty;b]$	$\left\{x\in\mathbb{R} \mid x\leq b\right\}$	alle Zahlen, die kleiner oder gleich $b$ sind
linksseitig unendliches offenes Intervall	$]-\infty;b[\;=\;(-\infty;b)$	$\left\{x\in\mathbb{R}\mid x < b\right\}$	alle Zahlen, die kleiner als $b$ sind
rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall	$[a;\infty[\;=\;[a;\infty)$	$\left\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\right\}$	alle Zahlen, die größer oder gleich $a$ sind
rechtsseitig unendliches offenes Intervall	$]a;\infty[\;=\;(a;\infty)$	$\left\{x\in\mathbb{R} \mid a < x\right\}$	alle Zahlen, die größer als $a$ sind

Auch die gesamten reellen Zahlen $\R=(-\infty,\infty)$ sind ein beidseitig unendliches Intervall.

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