Betrag

Untersuche die Funktion $f\left(x\right)=\mid x\mid =\{\begin{array}{c}x\text{ f}\ddot{\text{u}}\text{r }x>0\\ 0\text{ f}\ddot{\text{u}}\text{r }x=0\\ -x\text{ f}\ddot{\text{u}}\text{r }x<0\end{array}f\backslash left(x\backslash right)=\backslash left|x\backslash right|=\backslash begin\{cases\}\; x\; \backslash text\{\; für\; \}\; x\backslash gt0\backslash \backslash 0\; \backslash text\{\; für\; \}\; x=0\backslash \backslash \; -x\backslash text\{\; für\; \}\; x\backslash lt0\backslash end\{cases\}$ auf Differenzierbarkeit.

Diese Funktion ist offenbar für alle $x\in \mathbb{R}\mathrm{/}\left\{0\right\}x\backslash in\backslash mathbb\{R\}/\backslash left\backslash \{0\backslash right\backslash \}$ differenzierbar. Man muss also nur die kritische Stelle bei $x=0x=0$ untersuchen.

1. Erstelle den Differentialquotienten an der Stelle $x_0=0x\_0=0$.

   ${\displaystyle \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)}{h}}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\; \{h\backslash rightarrow\; 0\}\backslash frac\{f(x\_\; 0+h)-f(x\_\; 0)\}\{h\}=\backslash lim\_\; \{h\backslash rightarrow\; 0\}\backslash frac\{f(0+h)-f(0)\}\{h\}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash rightarrow\; 0\}\backslash frac\{f(h)\}\{h\}$

2. Zunächst muss man unterscheiden, von welcher Seite man sich der $00$ annähert, da man für positive und negative Werte von $xx$ unterschiedliche Funktionsterme verwenden muss. Man betrachtet also zwei Grenzwerte. Dabei nähert man sich einmal von links (in Zeichen: ${\lim }_{h\nearrow 0}\backslash lim\_\{h\backslash nearrow\; 0\}$) und einmal von rechts (in Zeichen: ${\lim }_{h\searrow 0}\backslash lim\_\{h\backslash searrow\; 0\}$) an den Wert $x_0=0x\_0=0$ an.

   2.1. Annäherung von rechts: $\underset{h\searrow 0}{\lim }\frac{f(h)}{h}=\underset{h\searrow 0}{\lim }\frac{h}{h}=\underset{h\searrow 0}{\lim }1=1\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash searrow\; 0\}\backslash frac\{f(h)\}\{h\}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash searrow\; 0\}\backslash frac\{h\}\{h\}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash searrow\; 0\}\; 1=1$

   2.2 Annäherung von links: $\underset{h\nearrow 0}{\lim }\frac{f(h)}{h}=\underset{h\nearrow 0}{\lim }\frac{-h}{h}=\underset{h\nearrow 0}{\lim }-1=-1\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash nearrow\; 0\}\backslash frac\{f(h)\}\{h\}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash nearrow\; 0\}\backslash frac\{-h\}\{h\}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash nearrow\; 0\}\; -1=-1$

Da die beiden Grenzwerte von links und rechts unterschiedlich sind, existiert der Grenzwert an der Stelle $x_0=0x\_0=0$ nicht. Deshalb ist die Funktion $f\left(x\right)=\mid x\mid =\{\begin{array}{c}x\text{ f}\ddot{\text{u}}\text{r }x>0\\ 0\text{ f}\ddot{\text{u}}\text{r }x=0\\ -x\text{ f}\ddot{\text{u}}\text{r }x<0\end{array}f\backslash left(x\backslash right)=\backslash left|x\backslash right|=\backslash begin\{cases\}\; x\; \backslash text\{\; für\; \}\; x\backslash gt0\backslash \backslash 0\; \backslash text\{\; für\; \}\; x=0\backslash \backslash \; -x\backslash text\{\; für\; \}\; x\backslash lt0\backslash end\{cases\}$ an der Stelle $x_0=0x\_0=0$ nicht differenzierbar.

Die nicht differenzierbare Stelle $x=0x\; =\; 0$ der Funktion $f(x)=\mid x\mid f(x)\backslash ;=\backslash ;\backslash left|x\backslash right|$ ist graphisch eine "Spitze".