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Ableitung berechnen

Die meisten Funktionen, die in der Schule abgeleitet werden müssen, sind durch Summen, Produkte und Verknüpfungen einiger weniger Funktionen gegeben.

Um Ableitungen erfolgreich zu berechnen genügt es also:

  1. die gegebene Funktion so umzuformen, dass die Ableitungsregeln benutzt werden können,

  2. die Funktion dann passend aufzuspalten,

  3. die Ableitungen der Bestandteile zu kennen und dann

  4. die Ableitungsregeln anzuwenden.

Art der Funktion

Funktion

Ableitung

Potenzfunktionen

f(x)=xnf\left(x\right)=x^n, nRn\in\mathbb{R}

Exponentialfunktionen

f(x)=exf\left(x\right)=e^x, wobei ee die eulersche Zahl ist.

Logarithmusfunktion

Trigonometrische Funktionen

Sinus

Kosinus

Tangens

Ableitungsregeln

Faktorregel

Funktion

Ableitung

allgemein

Beispiel

Summenregel

Funktion

Ableitung

allgemein

Beispiel

Produktregel

Funktion

Ableitung

allgemein

Beispiel

Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Produktregel

Quotientenregel

Funktion

Ableitung

allgemein

Beispiel

Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Quotientenregel

Kettenregel

Funktion

Ableitung

allgemein

Beispiel

Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Kettenregel

Weitere Beispiele

Ableitung von axa^x

Kennt man die Ableitung der e-Funktion, so lässt sich die Ableitung von f(x)=axf(x)=a^x mit a>0a>0 leicht über die Kettenregel berechnen.

Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt nämlich:

mit u(x)=exu(x)=e^x und v(x)=ln(a)xv(x)=\ln(a)\cdot x.

Wendet man nun die Kettenregel an, so ergibt sich:

Ableitung von xxx^x

Berechne die Ableitung von f(x)=xxf(x)=x^x.

Die Funktion ff lässt sich nicht direkt mit einer der obigen Ableitungsregeln ableiten, da sie nicht in der benötigten Form ist. Also formen wir zunächst um und zerlegen ff dann:

mit u(x)=exu(x)=e^x und v(x)=ln(x)xv(x)=\ln(x) \cdot x.

Damit lassen sich zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden:

f(x)\displaystyle f'(x)==[u(v(x))]\displaystyle [u(v(x))]'

Wende die Kettenregel an.

==u(v(x))v(x)\displaystyle u'(v(x))\cdot v'(x)

Leite nun u(x)=exu(x)=e^x und v(x)=ln(x)xv(x)=\ln(x)\cdot x ab:

  • u(x)=exu'(x)=e^x und

  • mit der Produktregel: v(x)=1xx+ln(x)1=1+ln(x)v'(x)=\frac 1 x \cdot x +\ln(x)\cdot 1 = 1+\ln(x).

Setze die Ableitungen ein.

==eln(x)x(1+ln(x))\displaystyle e^{\ln(x)\cdot x}\cdot(1+\ln(x))
==xx(1+ln(x))\displaystyle x^x\cdot(1+\ln(x))

Ableitung von loga(x)\log_a(x)

Zu einem gegebenen a>0,  a1a>0,\;a\neq1 wollen wir f(x)=loga(x)f(x)=\log_a(x) ableiten.

Wieder ist die Strategie den Funktionsterm von ff derart umzuformen, dass sich die bekannten Ableitungsregeln anwenden lassen.

Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhalten wir:

Da ln(a)\ln(a) eine Zahl ist und unabhängig von xx kannst du die Faktorregel anwenden und erhältst: f(x)=1xln(a)f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln(a)}.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

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