Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ff an einer Stelle xx gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Bezeichnet wird sie zumeist mit f(x)f'(x).

 

Ist f(x0)>0f'(x_0)>0, so steigt der Graph von ff an der Stelle x0x_0.

Ist f(x0)<0f'(x_0)<0, so fällt der Graph von ff an der Stelle x0x_0.

 

An den Extremstellen der Funktion und an Terrassenpunkten gilt:

f(x0)=0f'(x_0)=0.

 

Die Ableitung spielt daher eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Extrema und bei der Untersuchung der Monotonie einer Funktion.

Funktionen, die an jeder Stelle xx der Definitionsmenge eine Ableitung besitzen, nennt man differenzierbar. Das Berechnen der Ableitung nennt man Differenzieren.

Für die Berechnung der Ableitung existieren entsprechende Ableitungsregeln.

Definition

Die Ableitung an einem Punkt

Die Ableitung ist zunächst nur für einen Punkt (x0    f(x0))\left(x_0\;\left|\;f\left(x_0\right)\right.\right)  auf dem Graphen einer Funktion f(x)f\left(x\right)  bzw. für eine Stelle x0x_0  definiert. Sie ist gegeben durch

limxx0f(x)f(x0)xx0\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} oder alternativ limh0f(x0+h)f(x0)h\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Anschaulich erhält man durch den Differenzenquotienten die Steigung der Sekante durch den Punkt (x0    f(x0))\left(x_0\;\left|\;f\left(x_0\right)\right.\right) und einen anderen Punkt auf dem Funktionsgraphen. Die Idee bei beiden Defintionen ist, dass man die Tangente durch Sekanten annähert, indem man den x-Wert des zweiten Punktes immer näher an x0x_0 wählt. 

  

Was bedeutet diese Definition anschaulich?  

Die Bilderfolge veranschaulicht die Bildung des Grenzwerts mit der Definition 

Im Folgenden wird die Ableitung der Funktion f(x)f\left(x\right) an der Stelle x0x_0 berechnet. Der Punkt A=(x0f(x0))A=(x_{0}|f(x_0)) ist der entsprechende Punkt auf dem roten Funktionsgraphen. Nun wähle man einen zweiten Punkt BB, dessen x-Koordinate um hh größer ist als x0x_0, also x0+hx_0+h. Dieser Punkt besitzt also die Koordinaten B=(x0+hf(x0+h))B=(x_0+h|f(x_0+h)). Durch diese zwei Punkte AA und BB lässt sich die zugehörige Sekante gg bestimmen.

Wird nun der Punkt BB auf dem Graphen in Richtung von AA "geschoben" (d.h. die x-Koordinate xBx_B von BB immer weiter an die x-Koordinate xAx_A von AA angenähert, also hh immer weiter verringert), so wird die Sekante gg im Grenzfall xB=xA=x0x_B=x_A=x_0 zur Tangente. Die mit Hilfe des Differenzenquotienten ermittelbare Sekantensteigung wird somit zur Tangentensteigung, die wiederum dem Wert der Ableitung der Funktion ff an der Stelle x0x_0 entspricht.

AA und BB liegen weit auseinander. Die türkise Gerade schneidet gut sichtbar den roten Graphen. Man erhält also eine Sekante.

Die Steigung der Sekante ist mit einem Steigungsdreieck (vgl. Differenzenquotient) f(x0+h)f(x0)h\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h zu bestimmen.

Nun wird der Grenzwert gebildet.

limh0\lim_{h\rightarrow0}  bedeutet, dass der Wert von hh immer kleiner wird. Das bedeutet wiederum, dass x0x_0 und x0+hx_0+h, also AA und BB immer näher aneinander kommen, bis…

… die Differenz hh ganz verschwindet, also A=BA=B ist. Die türkise Gerade berührt den roten Graphen an dieser Stelle. Wir bekommen also eine Tangente.

Die Steigung dieser Tangente ist gleich der Ableitung an der Stelle x0x_0.

Existiert die Ableitung für alle Werte des Definitionsbereichs?

Nicht jede Funktion besitzt in jedem Punkt eine Ableitung. Das kann zum Beispiel daran liegen, dass die Funktion an einer Stelle einen Knick besitzt oder unstetig ist. So ist zum Beispiel die Betragsfunktion f(x)=xf(x) = |x| an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Der Artikel „Differenzierbarkeit“ liefert zu diesem Thema genauere Informationen.

Die Ableitung als Funktion

Von der Ableitung an einem bestimmten Punkt ist es nur ein kleiner Schritt zur Ableitung auf dem ganzen Definitionsbereich . Denn alle "normalen" Funktionen (die in der Schule behandelt werden) besitzen für alle  xDx \in D den gleichen Differenzenquotienten in Abhängigkeit von x. In dem Fall kann man die Ableitungen mit Hilfe der Ableitungsregeln bestimmen.

Höhere Ableitungen

Wenn die erste Ableitung nochmal abgeleitet wird, wird das Ergebnis zweite Ableitung genannt und so weiter. Zumeist werden für die Kurvendiskussion nur die ersten drei Ableitungen benötigt.

Im Bild erkennt man auch wieder, dass die Ableitung die Steigung der Funktion ist:

  • Die Ableitung von ff ist negativ bis 1, und danach positiv. Dementsprechend fällt f(x)f\left(x\right) bis x=1x=1  und steigt danach.

  • Desweiteren ist f(x)f'\left(x\right) eine Gerade mit konstanter Steigung und  f(x)f''\left(x\right)  ist konstant.

Notation

Die Ableitung einer Funktion wird mit einem Strich ( ' ) nach der Bezeichnung der Funktion gekennzeichnet. Bei höheren Ableitungen fügt man weitere Striche hinzu. Der Übersichtlichkeit halber verwendet man ab der vierten Ableitung statt der jeweiligen Anzahl an Strichen die entsprechende Zahl hochgestellt und eingeklammert.

  • Funktion f(x)f(x)

  • 1.Ableitung f(x)f'(x)

  • 2.Ableitung f(x)f''(x)

  • n-te Ableitung f(n)(x)f^{(n)}(x)

Wofür braucht man Ableitungen?

Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an.

Hat man eine Funktion gegeben, dann kann man aus der Ableitung zum Beispiel ablesen, wann die Funktion am stärksten steigt bzw. gar nicht steigt und kann dadurch Rückschlüsse ziehen, wie der Funktionsgraph aussieht. Diese Methode dient unter anderem der Bestimmung von Extremstellen bzw. Extremwerten.

Bildet man die Ableitung der Ableitung, so erhält man die zweite Ableitung, sozusagen die Steigung der Steigung. Die zweite Ableitung ist die Krümmung des Funktionsgraphen. 

Die zweite Ableitung ermöglicht z.B. eine Antwort auf die Frage: Wann ist die Steigung konstant?

Ableitungen in der Kurvendiskussion

Ableitung

Beispiel

Bedeutung

Ausgangsfunktion:

Erste Ableitung:

Steigung von ff

Zweite Ableitung:

Krümmung von ff

  • Jeder x-Wert eines Extremums der Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung.

  • Jeder x-Wert eines Wendepunktes einer Funktion ist ein x-Wert eines Extremums der Ableitung.

  • Jeder x-Wert eines Wendepunktes einer Funktion ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung.

  • Achtung: Die Rückrichtung dieser Aussagen muss nicht richtig sein.

Ableitung und Integral

Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung. Leitet man eine integrierte Funktion ab, erhält man die ursprüngliche Funktion und ebenso umgekehrt (abgesehen von einer Konstante, die hier noch hinzukommen kann). Dieser Zusammenhang ist die Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (HDI).


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