Extrema berechnen

Die Extrema eines Funktionsgraphen sind deren Hoch- und Tiefpunkte. Hierbei werden zwischen lokalen und globalen Extrema unterschieden.

Ein lokales Extremum besitzt in seiner näheren Umgebung keinen höher- oder tieferliegenden Punkt. Globale Extrema sind die höchst- bzw. tiefliegendsten Punkte auf dem ganzen Definitionsbereich und treten in den meisten Fällen bei Definitionslücken oder im Unendlichen auf und sind durch eine Grenzwertbetrachtung zu bestimmen.

Berechnung der lokalen Extrema

Extrema besitzen eine grundlegende Eigenschaft; in diesen Punkt ist die Steigung der Funktion gleich 00, was durch das Anlegen einer Tangente an den Funktionsgraphen bestätigt werden kann. Dieses Kriterium heißt notwendig, da dieses auf jeden Fall erfüllt sein muss, um überhaupt auf Extrema zu schließen.

Deshalb können die  xx-Werte der Hoch- und Tiefpunkte berechnet werden, indem die 1. Ableitung auf Nullstellen untersucht wird.  Die yy-Werte lassen sich durch einfaches Einsetzen der xx-Werte in die Funktion berechnen.

Um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt und nicht etwa ein Sattelpunkt, wird die 2. Ableitung herangezogen. Diese führen auf die hinreichenden Bedingungen für das Extremum:

Berechnung globaler Extrema

Globale Extrema treten meist an den Rändern des Definitionsbereiches auf. Eine Grenzwertbetrachtung wäre als die richtige Methode, um globale Extrema zu bestimmen.

In manchen Fällen, bspw. für die Funktion f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) sind die lokalen Extrema sogar gleich den globalen.

Berechnung der y-Werte

Man berechnet den y-Wert des möglichen Extremums an der Stelle xEx_E durch Einsetzen des erhaltenen x-Wertes in die Funktion ff (alsof(xE)=yEf(x_E)=y_E).

Beispiele zur Berechnung von Extrema

Beispielaufgabe 1

Bestimme das Extremum der Funktion f(x)=x21f(x)=x^2-1.

Beispiel

Allgemein

Bestimmung der 1. Ableitung

Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung

Einsetzen von xEx _E in die 2. Ableitung \Rightarrow bei xEx _E ist ein Tiefpunkt

Bestimmung der y-Koordinate

Beispielaufgabe 2

Untersuche die Funktion g(x)=x3+1g(x)=x^3+1 auf Extrema.

Beispiel

Allgemein

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

g(x)=6xg''(x)=6x \\ g(0)=0g''(0)=0

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen von xEx_E

Bestimmung der y-Koordinate

Da das Kriterium mit der 2. Ableitung keine Auskunft gibt, muss ein Vorzeichenwechsel um die Extremstelle untersucht werden. Hier ergibt sich ein Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt.

Beispielaufgabe 3

Untersuche die Funktion h(x)=x6x2h(x)=x^6-x^2 auf Extrempunkte.

Beispiel

Allgemein

h(x)=6x52x=x(6x42)=0h'(x)=6x^5 - 2x = x \cdot \left( 6x^4-2 \right) = 0 \\ x1=0x_1=0 \\ x2=134x_2=\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \\ x3=134x_3=-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

h(x)=30x42h''(x) = 30x^4 - 2 \\ h(0)=2h''(0)=-2 \\ h(134)=h(134)=8h''\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=h''\left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=8

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen der x-Werte. Bei x1x _1 ist ein Hochpunkt und bei x2x _2 und x3x _3 sind Tiefpunkte.

f(0)=0f(134)=233f(134)=233f(0)=0 \\ f\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt3} \\ f\left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt3} HP=(00)HP = \left( 0 \mid 0 \right) \\ TP1=(134233)TP_1 = \left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt3} \right) \\ TP2=(134233)TP_2 = \left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \mid -\dfrac{2}{3\sqrt3} \right)

Bestimmung der y-Koordinaten. Die Punkte werden vollständig angegeben.

Beispielaufgabe 4

Untersuche die Funktion i(x)=xi(x)=\sqrt{x} auf Extrempunkte.

Beispiel

Allgemein

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung.\\ Die 1. Ableitung hat keine Nullstellen.

Hat die Funktion also keine Extrema?

Doch, denn Df=[0;)D _f=[0;\infty) und der Definitionsbereich \\der Funktion ist auf einer Seite abgeschlossen.

f(0)=0f(0)=0 \\ f(0)=+>0f'(0)= +\infty >0

Betrachtung des Definitionsrandes.

Man hat ein Extremum bei x=0x=0 und es ist ein Minimum, da die Funktion dort wächst.

TP=(00)\Rightarrow TP = (0 \mid0)

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