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Extrema berechnen

Funktion mit lokalem Hooch- und Tiefpunkt

Die Extrema eines Funktionsgraphen sind deren Hoch- und Tiefpunkte. Hierbei wird zwischen relativen und absoluten Extrema unterschieden.

Um die Lage und Art der Extremstellen zu bestimmen, musst du folgende Schritte abhandeln:

  1. Funktion ableiten

  2. Nullstellen der Ableitung bestimmen

  3. Nachweis und Art über 2. Ableitung, Monotonietabelle oder Skizze

  4. y-Koordinate der Extremstelle durch Einsetzen der Werte in die Ausgangsfunktion

Kandidaten für Extremstellen

Extrempunkte des Graphen sind die Punkte, in denen der Graph weder fällt noch steigt. Die Steigung ist an dieser Stelle ist also gleich 0.

Die Steigung an jeder Stelle des Graphen kannst du mithilfe der Ableitung bestimmen.

Du suchst bei der Ermittlung der Extrema also die Nullstellen der 1. Ableitung!

(Dieses Kriterium wird auch notwendiges Kriterium genannt)

Nachweis und Art

Um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt (und nicht etwa ein Terassenpunkt), hast du 3 Möglichkeiten:

Berechnung der y-Werte

Man berechnet den y-Wert des möglichen Extremums an der Stelle xEx_E durch Einsetzen des erhaltenen x-Wertes in die Funktion ff:

f(xE)=yEf(x_E)=y_E.

Absolute Extrema

Wie du entscheiden kannst, ob ein Extrempunkt auch ein absoluter Extrempunkt ist, kannst du im Artikel relative und absolute Extrempunkte nachlesen. Dabei sind bei eingeschränkten Definitionsmengen auch die Randextrema zu beachten.

Beispiele zur Berechnung von Extrema

Bild

Beispielaufgabe 1

Bestimme das Extremum der Funktion f(x)=x21f(x)=x^2-1.

Beispiel

Allgemein

f(x)=2xf'(x)=2x

Bestimmung der 1. Ableitung

f(x)=0x=0f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0

Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung

f(x)=2f''(x)=2

Einsetzen von xEx _E in die 2. Ableitung \Rightarrow bei xEx _E ist ein Tiefpunkt

f(xE)=1f(x_E)=-1

Bestimmung der y-Koordinate

Funktion mit Sattelpunkt

Beispielaufgabe 2

Untersuche die Funktion g(x)=x3+1g(x)=x^3+1 auf Extrema.

Beispiel

Allgemein

g(x)=3x2=0x=0g'(x) = 3x^2 = 0 \\ \Leftrightarrow x=0

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

g(x)=6xg''(x)=6x \\ g(0)=0g''(0)=0

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen von xEx_E

g(xE)=1g(x_E)=1

Bestimmung der y-Koordinate

Da das Kriterium mit der 22. Ableitung keine Auskunft gibt, muss ein Vorzeichenwechsel um die Extremstelle untersucht werden. Hier ergibt sich ein Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt.

Bild

Beispielaufgabe 3

Untersuche die Funktion h(x)=x6x2h(x)=x^6-x^2 auf Extrempunkte.

Beispiel

Allgemein

h(x)=6x52x=x(6x42)=0h'(x)=6x^5 - 2x =\\ x \cdot \left( 6x^4-2 \right) = 0 \\ x1=0x_1=0 \\ x2=134x_2=\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \\ x3=134x_3=-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

h(x)=30x42h''(x) = 30x^4 - 2 \\ h(0)=2<0h''(0)=-2<0 \\ h(134)=8>0h(134)=8>0h''\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=8>0\\h''\left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=8>0

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen der x-Werte. Bei x1x _1 ist ein Hochpunkt und bei x2x _2 und x3x _3 sind Tiefpunkte.

f(0)=0f(134)=233f(134)=233f(0)=0 \\ f\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt3} \\ f\left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt3} HP(00)HP\left( 0 \mid 0 \right) \\ TP1(134233)TP_1\left(-\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \mid -\dfrac{2}{3\sqrt3} \right) \\ TP2(134233)TP_2 \left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{3}} \mid -\dfrac{2}{3\sqrt3} \right)

Bestimmung der y-Koordinaten. Die Punkte werden vollständig angegeben.

Bild

Beispielaufgabe 4

Untersuche die Funktion i(x)=xi(x)=\sqrt{x} auf Extrempunkte.

Beispiel

Allgemein

i(x)=12x0i'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}\neq0

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung.\\ Die 1. Ableitung hat keine Nullstellen.

Hat die Funktion also keine Extrema?

Doch, denn Di=[0;)D _i=[0;\infty) und der Definitionsbereich \\der Funktion ist auf einer Seite abgeschlossen.

i(0)=0i(0)=0 \\ i(0)=+>0i'(0)= +\infty >0

Betrachtung des Definitionsrandes.

Man hat ein Extremum bei x=0x=0 und es ist ein Minimum, da die Funktion dort wächst.

TP=(00)\Rightarrow TP = (0 \mid0)

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu den Extrempunkten

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