Extrema berechnen

Die normalen Extrema einer stetig differenzierbaren Funktion findet man an Nullstellen ihrer Ableitung (jedoch nicht unbedingt an allen!).

Um die  xx-Werte der Hoch- und Tiefpunkte zu finden reicht es, die Nullstellen der 1. Ableitung zu finden und zu überprüfen, ob an diesen Stellen wirklich Extrema vorliegen.  Die yy-Werte lassen sich durch einfaches Einsetzen der xx-Werte in die Funktion berechnen.

 

Zusätzlich haben Funktionen mit (einseitg) abgeschlossenem Definitionsbereich immer noch ein Extremum an diesem Definitionsrand, das von der normalen Vorgehensweise meistens nicht gefunden wird.

 

Berechnung der x-Werte

Man berechnet den x-Wert des möglichen Extremums von f(x) durch Nullsetzen der ersten Ableitung der Funktion, deren Extremum bestimmt werden soll (also f(x)=0f'(x)=0) und Auflösen der Gleichung nach xx, da bei einem Extremum die Steigung der Funktion immer 0 ist.

 

Art des Extremums

Um zu bestimmen, welche Art von Extremum vorliegt, prüft man, ob die 2. Ableitung der Funktion an der möglichen Extremstelle größer (Tiefpunkt) oder kleiner (Hochpunkt) als 0 ist (f(xE)=  ?f''(x_E)= \;?). Dafür muss der vorher berechnete xx-Wert xEx_E diesmal in die 2. Ableitung der Funktion f eingesetzt werden. Falls sie 0 ist, handelt es sich unter Umständen um keinen Extrempunkt, sondern um einen Terrassenpunkt.

Erhältst du für die 2. Ableitung an der Stelle xEx_E eine Nullstelle, dann kannst du noch den Vorzeichenwechsel bei xEx_E überprüfen. (siehe die Tabelle hier).

 

Berechnung der y-Werte

Man berechnet den y-Wert des möglichen Extremums an der Stelle xEx_E durch Einsetzen des erhaltenen x-Wertes in die Funktion ff (alsof(xE)=yEf(x_E)=y_E) .

Beispiele

Beispiel 1:

Zu untersuchende Funktion:

Bestimmung der 1. Ableitung

Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung

Bestimmung der 2. Ableitung

Einsetzen von xEx _E in die 2. Ableitung \Rightarrow bei xEx _E ist ein Tiefpunkt

ff hat also einen Tiefpunkt bei (01)\left(0\mid -1\right)

Bestimmung der yy-Koordinate

Beispiel 2:

Zu untersuchende Funktion:

Bestimmung und Nullsetzen der 1. Ableitung

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen von xEx_E

Überprüfung eines Vorzeichenwechsels mit Werten nahe bei xEx _E; die Funktion steigt in einer Umgebung um xEx _E. Also liegt ein Terrassenpunkt vor.

gg hat also einen Terrassenpunkt TT bei (01)\left(0\mid 1 \right)

Bestimmung der yy-Koordinate

Beispiel 3:

Zu untersuchende Funktion:

Bestimmung der 1. Ableitung und Nullsetzen der Ableitung

Bestimmung der 2. Ableitung und Einsetzen der x-Werte. Bei x1x _1 ist ein Hochpunkt und bei x2x _2 und x3x _3 sind Tiefpunkte.

Bestimmung der y-Koordinaten

Beispiel 4:

Zu untersuchende Funktion:

Bestimmung und Nullsetzen der 1.Ableitung . Die 1. Ableitung hat keine Nullstellen.

Hat die Funktion also keine Extrema?

Doch, denn Df=[0;)D _f=[0;\infty) und der Definitionsbereich der Funktion ist auf einer Seite abgeschlossen.

Betrachtung des Definitionsrandes

Man hat ein Extremum bei x=0x=0 und es ist ein Minimum, da die Funktion dort wächst.


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