Extremum

Arten von Extrema

Man unterscheidet

• Minimum (Tiefpunkt) und

• Maximum (Hochpunkt),

wobei diese nochmal in

• global und

• lokal

unterteilt werden.

Extremstellen

Die Stellen, d. h. die $x$-Werte, an denen ein Extremum vorliegt, nennt man Extremstellen.

Bestimmung der Extremstellen mithilfe der Ableitung

Eine lokale Extremstelle $x_E$ einer differenzierbaren Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung:$f'(x_E) = 0$.

Ist die Ableitung wiederum differenzierbar, so kann man die Extremstelle weiter charakterisieren:

• Gilt $f''(x_E) > 0$, so liegt an $x_E$ ein lokales Minimum vor.

• Gilt $f''(x_E) < 0$, so liegt an $x_E$ ein lokales Maximum vor.

• Gilt $f''(x_E) = 0$, so ist keine weitere Aussage möglich. An $x_E$ kann ein Minimum, ein Maximum, oder ein Terrassenpunkt vorliegen.

Mit diesen Bedingungen kann man die Extremstellen von differenzierbaren Funktionen berechnen:

1. Mögliche Kandidaten finden mit der Bedingung  $f'\left(x_E\right)=0$, d.h. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung.

2. Überprüfen, ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder einen Terrassenpunkt handelt.

3. Bestimmung des $y$-Werts.

Für genauere Informationen siehe Extrema berechnen.

Vorzeichenwechselkriterium

Anstatt die zweite Ableitung zu berechnen, kann man auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium die Art einer möglichen Extremstelle $x_E$ bestimmen, dabei berechnet man das Monotonieverhalten der Funktion:

• Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle $x_E$ negativ und danach positiv, so liegt an $x_E$ ein lokales Minimum vor.

• Ist die Steigung vor einer möglichen Extremstelle $x_E$ positiv und danach negativ, so liegt an $x_E$ ein lokales Maximum vor.

• Ändert sich das Vorzeichen der Ableitung vor und hinter der Extremstelle nicht, so liegt ein Terrassenpunkt vor.

Am einfachsten ist dies in einer Tabelle darstellbar. Die Vorzeichen in der Tabelle geben jeweils das Vorzeichen der Ableitung in dem betreffenden Bereich (d. h. an einer Stelle $x$ mit $x \lt x_E$ bzw. mit $x \gt x_E$) an.

Veranschaulichung der Tabelle

Warum ist die erste Bedingung notwendig?

Das Vorzeichen der Ableitung beschreibt, ob die Funktion fällt oder steigt: ein positives Vorzeichen bedeutet, dass die Funktion steigt, ein negatives bedeutet, dass sie fällt. Da die Funktion an der Extremstelle weder fallen noch steigen darf, ist die Ableitung an der Stelle also null. Die folgende drei Bilder veranschaulichen diese Idee. Dabei wird die Steigung als die Steigung der Tangente dargestellt.

Warum ist bei $f''(x_E)=0$ keine Aussage möglich?

Bei den Funktionen $f_1(x)=x^8$, $f_2(x)=x^7$, ⁣$f_3(x)=-x^8$ sind die ersten sechs Ableitungen an der Stelle $x_E=0$ jeweils null, aber man erhält einmal einen Tiefpunkt, einen Terrassenpunkt und einen Hochpunkt.