Tangente an Graph

Eine Tangente an einen Graphen ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion ff an einer bestimmten Stelle x0x_0 berührt und dort dieselbe Steigung wie die Funktion besitzt. Die Tangente gg hat folgende allgemeine Form:

Vorüberlegungen / Grundwissen:

  • Bei der obigen Gleichung ist x0x_0 der x-Wert des Berührpunktes und f(x0)f(x_0) der y-Wert des Berührpunktes (y0=f(x0)y_0=f(x_0)).

  • Die Steigung der Tangenten in einem Punkt (x0y0)(x_0\left|y_0)\right| ist genau die Ableitung der Funktion f beim x-Wert x0x_0, also f(x0)f'\left(x_0\right).

  • Verschiebt man ein Schaubild um den Wert x0x_0 in x-Richtung muss man den Funktionsterm anpassen. Daber ersetzt man jedes x im alten Funktionsterm durch (xx0)(x-x_0).

  • Verschiebt man ein Schaubild um den Wert y0 y_0 in y-Richtung, muss man den alten Funktionsterm anpassen, indem man y0y_0 addiert.

Schritt 1:

Die Ursprungsgerade mit der Steigung f(x0)f'(x_0) hat die gleiche Steigung wie die Tangente.

Ihre Gleichung lautet: y=f(x0)xy=f'(x_0)\cdot x.

Schritt 2:

Verschiebt man diese Urspungsgerade auf der x-Achse unterhalb (bzw. oberhalb) des Berührpunktes, muss man im alten Funktionsterm xx durch (xx0) (x-x_0) ersetzten.

Die zugehörige Gleichung lautet y=f(xx0)y=f'(x-x_0).

Schritt 3:

Verschiebt man die obige Gerade um den y-Wert des Berührpunktes nach oben, erhält man die Tangente zum Schaubild von f im Berührpunkt. Hierzu muss man zum obigen Funktionsterm y0y_0 (bzw. f(x0)f(x_0)) addieren.

Damit erhalten wir für die Tangentengleichung: t:y=f(x0)(xx0)+f(x0)t: y=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0).

Tangente für gegebene xx-Koordinate

Allgemeines Rezept

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2. Berechne die Tangente an der Stelle x=1x=1.

Schreibe die allgemeine Geradengleichung auf.

mm: Steigung

tt: yy-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung.

Setze den xx-Wert in die Ableitung ein, um die Steigung zu erhalten.

Setze die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein.

Berechne die yy-Koordinate, die zur angegebenen xx-Koordinate gehört. Setze dazu den xx-Wert in die normale Funktion ein.

Setze die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein und löse nach tt auf.

Die Tangentegleichung hat die Form:

Tangente mit gegebener Steigung

Allgemeines Rezept

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2. Berechne die Tangente(n) mit der Steigung m=1m=-1.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf.

mm: Steigung

tt: yy-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung.

Setze die Ableitung mit der Steigung gleich und löse nach xx auf.

Setze den xx-Wert in die Funktion ein, um einen Punkt zu erhalten.

Setze den Punkt und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach tt auf.

Die Tangentengleichung lautet also:

Wendetangente

Die Wendetangenten einer Funktion ff sind die Tangenten an ihren Wendepunkten.

Beispiel

Berechne alle Wendetangenten der Funktion

Zur Berechnung der Wendepunkte benötigt man die ersten drei Ableitungen.

Alle möglichen Wendepunkte erfüllen f(x)=0f''(x) = 0, man benötigt also die Nullstellen der zweiten Ableitung.

Das ist eine quadratische Gleichung, die mittels der Mitternachtsformel gelöst werden kann. Zunächst bestimmt man die Diskriminante.

Wegen D>0D > 0 besitzt die Gleichung zwei Lösungen, die sich mit der Mitternachtsformel berechnen lassen.

Man muss diese Stellen noch in die dritte Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob hier Wendepunkte vorliegen.

Da beide Stellen eine dritte Ableitung ungleich Null besitzen, liegt an beiden Stellen ein Wendepunkt vor. Zur Berechnung der Tangenten benötigt man noch den Funktionswert und den Wert der Ableitung an den entsprechenden Stellen

Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung ergibt die beiden Wendetangenten g1,g2g_1,g_2.


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