Tangente an Graph

Eine Tangente an einem Graphen ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion ff an einer bestimmten Stelle x0x_0 berührt und dort dieselbe Steigung wie die Funktion besitzt.

Der Funktionsterm einer Tangente wird entweder durch die Tangentenformel aufgestellt oder durch das schrittweise Konstruieren einer Gerade.

Tangentenformel

Die Tangente gg wird durch einen linearen Funktionsterm angegeben und kann mithilfe der Tangentenformel aufgestellt werden:

Konstruieren aus einer Geraden

Eine Tangente kann auch ohne Formel aufgestellt werden. Da es sich um eine lineare Funktion handelt, lautet deren allgemeine Form:

Die Steigung mm wird durch die Steigung der Funktion ff an der Stelle x0x_0 bestimmt, siehe Beispiel. Der y-Achsenabschnitt wird durch eine weitere Information, in Form einer Gleichung, berechnet.

Beispiel: Tangente für gegebene xx-Koordinate

Allgemeines Rezept

Beispiel

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2. Berechne die Tangente an der Stelle x=1x=1.

Schreibe die allgemeine Geradengleichung auf.

g(x)=mx+bg(x)=mx+b \\ mm: Steigung \\ bb: y-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung

Setze den x-Wert in die Ableitung ein, um die Steigung zu erhalten.

Setze die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein.

Berechne die y-Koordinate, die zur angegebenen x-Koordinate gehört. Setze dazu den x-Wert in die normale Funktion ein.

Setze die Koordinaten des Berührpunktes in die Geradengleichung ein und löse nach b auf.

1=21+b1=2\cdot 1 + b \\ b=1b=-1

Die Tangentengleichung hat die Form:

Beispiel: Berechnung mit der Tangentenformel

Die Funktion f(x)=2x2+3x1f\left(x\right)=-2x^2+3x-1 wird in x0=2x_0=2 von einer Tangente berührt. Wir bestimmen deren Funktionsterm g(x)g(x).

Allgemein

Beispiel

f(x0)f(x_0) berechnen

f(x)f'(x) bestimmen

f(x0)f'(x_0) berechnen

f(x0),f(x0),x0f(x_0),f'(x_0),x_0 in Formel einsetzen

Funktionsterm vereinfachen

Der Funktionsterm der Tangente ist also:

Beispiel: Beide Berechnungsmethoden im Überblick

Um den Funktionsterm einer Tangente zu bestimmen, stehen zwei Methoden zur Auswahl: Das Aufstellen mittels Tangentenformel, sowie dem Konstruieren einer Geraden durch das Lösen von Gleichungen. Hier wird beides gegenübergestellt.

Gesucht wird die Tangente, die den Funktionsgraphen von f(x)=2x2+5f\left(x\right)=-2x^2+5 an der Stelle x0=2x_0=2 berührt.

Tangentenformel

Gerade konstruieren

Schreibe zunächst die Formel auf: \\ g(x)=f(x0)(xx0)+f(x0)g(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)

Schreibe den allgemeinen Funktionsterm einer Gerade auf: \\ g(x)=mx+bg(x)=mx+b

Bestimme die 1. Ableitung von f(x)f(x): \\ f(x)=4xf'(x)=-4x

Bestimme die 1. Ableitung von f(x)f(x): \\ f(x)=4xf'(x)=-4x

Berechne f(x0)f'(x_0): \\ f(2)=42=8f'(2)=-4\cdot 2=-8

Berechne mm, also f(x0)f'(x_0): \\ f(2)=42=8f'(2)=-4\cdot 2=-8

Setze die Steigung mm in die Gleichung ein: \\ g(x)=8x+bg(x)=-8x+b

Bestimme f(x0)f(x_0): \\ f(2)=222+5=8+5=3f(2)=-2\cdot 2^2+5=-8+5=-3

Bestimme f(x0)f(x_0): \\ f(2)=222+5=8+5=3f(2)=-2\cdot 2^2+5=-8+5=-3

Damit folgt, dass die Tangente durch den Punkt P(23)P(2 \mid -3) verläuft. Setze den Punkt in den Funktionsterm g(x)g(x) ein und löse nach bb auf: \\ 3=(8)2+b-3=(-8)\cdot 2+b \\ b=13\phantom{-}b=13

Setze x0,f(x0),f(x0)x_0,f(x_0),f'(x_0) in die Tangentenformel ein und vereinfache: \\ g(x)=8(x2)+(3)g(x)=-8(x-2)+(-3) \\ g(x)=8x+13\phantom{g(x)}=-8x+13

Setze mm und bb in die Geradegleichung ein: \\ g(x)=8x+13g(x)=-8x+13

Die Verfahren liefern beide den gleichen Funktionsterm, womit also frei gewählt werden kann, wie eine Tangente aufgestellt wird. Welche Methode den geringeren Aufwand betreibt, muss von einem selbst beurteilt werden.

Beispiel: Tangente mit gegebener Steigung

Allgemeines Rezept

Beispiel

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2. Berechne die Tangente(n) mit der Steigung m=1m=-1.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf.

g(x)=mx+bg(x)=mx+b \\ mm: Steigung \\ bb: y-Achsenabschnitt

Berechne die Ableitung.

Setze die Ableitung mit der Steigung gleich und löse nach xx auf.

1=2x−1=2x \\ x=12x=-\dfrac{1}{2}

Setze den xx-Wert in die Funktion ein, um einen Punkt zu erhalten.

Setze den xx-Wert, yy-Wert und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein und löse nach bb auf.

14=1(12)+b\dfrac{1}{4}=-1\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)+b \\ b=14b=-\dfrac{1}{4}

Die Tangentengleichung lautet also:

Wendetangente

Die Wendetangenten einer Funktion ff sind die Tangenten an ihren Wendepunkten. Eine Funktion kann demnach eine, mehrere oder auch keine Wendetangenten besitzen, abhängig davon wie viele Wendepunkte sie besitzt.

Beispiel einer Wendetangente

Berechne alle Wendetangenten der Funktion

Allgemeines Rezept

Beispiel

Zur Berechnung der Wendepunkte benötigt man die ersten drei Ableitungen.

f(x)=4x3+6x224xf'(x)=4x^3+6x^2-24x \\ f(x)=12x2+12x24f''(x)=12x^2+12x-24 \\ f(x)=24x+12f'''(x)=24x+12

Alle möglichen Wendepunkte erfüllen f(x)=0f''(x) = 0, man benötigt also die Nullstellen der zweiten Ableitung.

Die quadratische Gleichung wird mit der abc-Formel gelöst.

x1,2=b±b24ac2ax_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x1,2=12±122412(24)212\phantom{x_{1{,}2}}=\dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 12\cdot (-24)}}{2\cdot 12} \\ x1,2=12±144+115224\phantom{x_{1{,}2}}=\dfrac{-12\pm\sqrt{144+1152}}{24} \\ x1,2=12±3624\phantom{x_{1{,}2}}=\dfrac{-12\pm 36}{24} \\ x1=123624=4824=2x_{1}=\dfrac{-12- 36}{24}=\dfrac{-48}{24}=-2 \\ x2=12+3624=2424=1x_{2}=\dfrac{-12+ 36}{24}=\dfrac{24}{24}=1

Man muss diese Stellen noch in die dritte Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, ob hier Wendepunkte vorliegen.

f(x1)=24(2)+120f'''(x_1)=24\cdot (-2)+12\ne 0 \\ f(x2)=241+120f'''(x_2)=24\cdot 1+12\ne 0

Da beide Stellen eine dritte Ableitung ungleich Null besitzen, liegt an beiden Stellen ein Wendepunkt vor. Zur Berechnung der Tangenten benötigt man noch den Funktionswert und den Wert der Ableitung an den entsprechenden Stellen.

f(x1)=(2)4+2(2)312(2)2+3=45f(x_1)=(-2)^4+2\cdot (-2)^3-12\cdot (-2)^2+3=-45 \\ f(x2)=14+2131212+3=6f(x_2)=1^4+2\cdot 1^3-12\cdot 1^2+3=-6 \\ f(x1)=4(2)3+6(2)224(2)=40f'(x_1)=4\cdot (-2)^3+6\cdot (-2)^2-24\cdot (-2)=40 \\ f(x2)=413+612241=14f'(x_2)=4\cdot 1^3+6\cdot 1^2-24\cdot 1=-14

Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung ergibt die beiden Wendetangenten g1,g2g_1,g_2.

g1(x)=f(x1)(xx1)+f(x1)=40(x(2))45g_1(x)=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)=40(x-(-2))-45 \\ g2(x)=f(x2)(xx2)+f(x2)=14(x1)6g_2(x)=f'(x_2)(x-x_2)+f(x_2)=-14(x-1)-6

Das Auflösen der Klammern zeigt die Form der gewöhnlichen Geradengleichung.

g1(x)=40x+35g_1(x)=40x+35 \\ g2(x)=14x+8g_2(x)=-14x+8

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