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Normale

Die Normale ist eine Gerade, die in einem bestimmten Punkt senkrecht auf einem Funktionsgraphen oder einer geometrischen Figur steht.

Sie schneidet die Tangente im entsprechenden Punkt unter einem 90∘-Winkel.

Normale

Normalenformel

Die Normale g ist damit gegeben durch eine lineare Funktion und kann mithilfe der Normalenformel aufgestellt werden:

g(x)=−1fâ€Č(x0)(x−x0)+f(x0)

Bestimmen der Normalensteigung mn

Ausgehend von einer Tangente (oder allgemein einer Geraden) ist es zu deren Normalen nicht weit. Da diese beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen, erfĂŒllen ihre Steigungen mt und mn folgende Gleichung:

mn⋅mt=−1

und damit lÀsst sich mn berechnen mithilfe:

mn=−1mt

 

Beispiele zur Bestimmung von mn

Steigung der Tangente mt

Steigung der Normale mn

−3

−13

−7

−17

−12

−2

−52

−25

Normalengleichung aufstellen

Setzt man die Steigung mn in die allgemeine Geradengleichung ein, besitzt die Normale die Form:

g(x)=mnx+b

Hier steht b fĂŒr den y-Achsenabschnitt der Normale. Diesen können wir berechnen, indem fĂŒr x und g(x) die Koordinaten eines Punktes P(x|y) eingesetzt werden.

Beispiel zur Berechnung des y-Achsenabschnittes b

Eine Normale habe die Steigung mn=−2 und verlaufe durch den Punkt P(−3|−4). Wir berechnen deren y-Achsenabschnitt. Dieser Ablauf ist fĂŒr die Berechnung des y-Achsenabschnittes immer gleich und lĂ€sst sich ganz allgemein anwenden.

Allgemeines Rezept

Beispiel

Geradengleichung hinschreiben.

g(x)=mx+b g(x)=−2x+b

Koordinaten des Punktes einsetzen.

−4=(−2)⋅(−3)+b −4=6+b

Nach b umstellen.

−10=b

b in die Geradengleichung einsetzen.

g(x)=−2x−10

Die Normale wird durch den Funktionsterm g(x)=−2x−10 beschrieben.

Normalenformel

Das Aufstellen der Normalengleichung ist genauso systematisch wie das Bestimmen einer Tangente und kann mit der Formel

fn(x)=−1fâ€Č(x0)(x−x0)+f(x0)

vorgenommen werden.

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