Tangente an Kreis

Wir wollen die Tangentengleichung an einen Kreis durch einen Punkt berechnen. Gegeben ist der Mittelpunkt des Kreises und ein weiterer Punkt. Wir unterscheiden zwei Fälle:

• Der gegebene Punkt liegt auf dem Kreis. Der Punkt ist also der Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis.

• Der gegebene Punkt liegt außerhalb des Kreises. Die Tangente soll durch diesen Punkt verlaufen und zugleich den Kreis berühren.

Der gegebene Punkt liegt auf dem Kreis

Gegeben ist der Mittelpunkt $M(x_M,y_M)M\backslash left(x\_M,\backslash \; y\_M\backslash right)$ sowie der Berührpunkt $B(x_B,y_B)B\backslash left(x\_B,y\_B\backslash right)$. Die Tangentengleichung kannst du mit diesen Schritten bestimmen:

1. Berechne die Steigung $m_{g}m\_g$ der Geraden, die durch $MM$ und $BB$ verläuft.

2. Die Steigung $m_{t}m\_t$ der Tangente erhältst du durch $m_t=-\frac{1}{m_g}m\_t=-\backslash frac\{1\}\{m\_g\}$, weil für senkrechte Geraden das Produkt ihrer Steigungen immer $-1-1$ ergibt.

3. Setze den Punkt $BB$ in die Tangentengleichung $t\left(x\right)=m_t\cdot x+kt\backslash left(x\backslash right)=m\_t\backslash cdot\; x+k$ ein und löse nach $kk$ auf.

4. Jetzt kannst du $m_{t}m\_t$ und $kk$ in die Tangentengleichung einsetzen.

Beispiel:

Bestimme die Gleichung der Tangente, die den Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(3\mathrm{\mid }1\right)M\backslash left(3|1\backslash right)$ im Punkt $P\left(6\mathrm{\mid }\mathrm{3,65}\right)P\backslash left(6|\backslash \; 3\{,\}65\backslash right)$ berührt.

Wir berechnen die Steigung der Geraden $gg$, die durch $MM$ und $PP$ verläuft. Dafür machen wir uns das Steigungsdreieck zunutze:

Die Steigung $m_{g}m\_g$ der Geraden $gg$ ist demnach die Differenz der $yy$-Koordinaten von $PP$ und $MM$ geteilt durch die Differenz ihrer $xx$-Koordinaten:

Die Tangente $tt$ steht senkrecht auf dieser Geraden $gg$. Für senkrechte Geraden ergibt das Produkt ihrer Steigungen immer $-1-1$:

Wenn wir durch $m_{g}m\_g$ teilen, erhalten wir die Formel für die Steigung der Tangente:

Nun haben wir bereits die Steigung der Tangente berechnet. Für die Tangentengleichung $t(x)=m_t\cdot x+k_{t}t(x)=m\_t\; \backslash cdot\; x\; +\; k\_t$ müssen wir also jetzt noch den $yy$-Achsenabschnitt $k_{t}k\_t$ der Tangente berechnen. Hierfür setzen wir den Punkt $PP$, der auf der Tangente liegt, in die Tangentengleichung ein und lösen nach $k_{t}k\_t$ auf:

Der $yy$-Achsenabschnitt der Tangente ist also $k_t=\mathrm{10,43}k\_t=10\{,\}43$.

Damit haben wir alles ausgerechnet und müssen nun nur noch die vollständige Tangentengleichung notieren:

$t\left(x\right)=-\mathrm{1,13}x+\mathrm{10,43}t\backslash left(x\backslash right)=-1\{,\}13x+10\{,\}43$

Der gegebene Punkt liegt außerhalb des Kreises

Gegeben ist der Mittelpunkt $M(x_M,y_M)M\backslash left(x\_M,\backslash \; y\_M\backslash right)$ und der Radius $rr$ des Kreises sowie ein Punkt $Q(x_Q,y_Q)Q\backslash left(x\_Q,\backslash \; y\_Q\backslash right)$ außerhalb des Kreises. Graphisch können wir erkennen, dass es zwei Kreistangenten gibt, die durch den Punkt $QQ$ verlaufen.

Wir wissen, dass die Tangente senkrecht auf dem Radius des Kreises steht. Deshalb können wir sowohl für $S_{1}S\_1$ und $S_{2}S\_2$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

Dieses rechtwinklige Dreieck besitzt seinen rechten Winkel immer im Berührpunkt $S_{1}S\_1$ mit dem Kreis. Deshalb können wir über die Strecke $\overline{QM}\backslash overline\{QM\}$ einen Thaleskreis legen. $S_{1}S\_1$liegt auf diesem Thaleskreis. Deshalb hat das Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{QM}\backslash overline\{QM\}$ in $S_{1}S\_1$ einen rechten Winkel.

Der Mittelpunkt $TT$ dieses Thaleskreises liegt genau auf der Hälfte der Strecke $\overline{QM}\backslash overline\{QM\}$.

Um die Tangenten durch $QQ$ an den Kreis zu berechnen, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

• Stelle die Kreisgleichung für den Kreis $k_{1}k\_1$ mit Mittelpunkt $MM$ auf:

• Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes $TT$ des Thaleskreises. Dieser befindet sich genau in der Mitte der Strecke $\overline{QM}\backslash overline\{QM\}$. Deshalb sind die Koordinaten von $TT$ die "durchschnittlichen" $xx$- bzw. $yy$-Koordinaten von $QQ$ und $MM$.$T(\frac{1}{2}(x_M+x_Q);\frac{1}{2}(y_M+y_Q))T(\backslash frac\{1\}\{2\}(x\_M+x\_Q);\; \backslash frac\{1\}\{2\}(y\_M+y\_Q))$

• Stelle die Kreisgleichung für den Thaleskreis $k_{2}k\_2$ mit Mittelpunkt $TT$ auf:

• Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise. Das entspricht $S_{1}S\_1$ und $S_{2}S\_2$, also den Berührpunkten der Tangenten an $k_{1}k\_1$. Du kannst die Schnittpunkte berechnen, indem du eine der beiden Gleichungen nach $xx$ oder $yy$ auflöst und dann in die andere Gleichung einsetzt. Du erhältst dann sowohl für $xx$, als auch für $yy$ zwei Lösungen, die den beiden Punkten $S_{1}S\_1$ und $S_{2}S\_2$ entsprechen.

• Wenn du $S_{1}S\_1$ und $S_{2}S\_2$ berechnet hast, hast du die beiden Berührpunkte der Tangenten an den Kreis. Du hast das kompliziertere Problem dann auf das obige Problem zurückgeführt: Nämlich wie man eine Tangente an den Kreis berechnet, wenn der gegebene Punkt auf dem Kreis liegt. Du kannst dann vorgehen, wie oben beschreiben.

Anmerkung: Die hier beschriebene Rechnung kann sich als sehr kompliziert und langwierig erweisen. Meistens wird die Rechnung in der Schule nicht gefordert.

Tangente an Kreis berechnen mit Vektoren

Der gegebene Punkt liegt auf dem Kreis

Wenn du bereits mit Vektoren und vektoriell dargestellten Geradengleichungen umgehen kannst, findest du hier eine alternative Lösungsmethode zu der oben dargestellten.

Gegeben ist der Mittelpunkt $\vec{M}=\left(\begin{array}{c}{M}_x\\ M_y\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{M\}\; =\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; M\_x\; \backslash \backslash \backslash \; M\_y\; \backslash end\{array\}\backslash right)$ und der Berührpunkt der Tangente an den Kreis $\vec{B}=\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_y\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{B\}\; =\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; B\_x\; \backslash \backslash \backslash \; B\_y\; \backslash end\{array\}\backslash right)$.

Die Tangentengleichung $tt$ kannst du mit diesen Schritten bestimmen:

1. Berechne den Radiusvektor $\vec{r}=\vec{B}-\vec{M}\backslash vec\{r\}=\backslash vec\{B\}-\backslash vec\{M\}$

2. Finde einen Vektor $\vec{u}\backslash vec\{u\}$, der senkrecht auf $\vec{r}\backslash vec\{r\}$ steht. Dafür gilt $\vec{r}\cdot \vec{u}=0\backslash vec\{r\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{u\}=0$. $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ ist der Richtungsvektor der Tangente.

3. $\vec{B}\backslash vec\{B\}$ ist der Aufpunkt der Tangente. Du kannst nun die Tangentengleichung formulieren: $t:\vec{X}=\vec{u}\cdot \lambda +\vec{B}t:\backslash vec\{X\}=\backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash lambda\; +\; \backslash vec\{B\}$

Beispiel:

Stelle die Gleichung der Tangente auf, die den Kreis mit Mittelpunkt $\vec{M}=\left(\begin{array}{c}16\\ 8\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{M\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 16\; \backslash \backslash \backslash \; 8\; \backslash end\{array\}\backslash right)$im Punkt $\vec{B}=\left(\begin{array}{c}19\\ \mathrm{10,65}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{B\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 19\; \backslash \backslash \backslash \; 10\{,\}65\; \backslash end\{array\}\backslash right)$ berührt.

$\vec{r}=\vec{B}-\vec{M}=\left(\begin{array}{c}19\\ \mathrm{10,65}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}16\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ \mathrm{2,65}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{r\}=\backslash vec\{B\}-\backslash vec\{M\}=\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 19\; \backslash \backslash \backslash \; 10\{,\}65\; \backslash end\{array\}\backslash right)-\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 16\; \backslash \backslash \backslash \; 8\; \backslash end\{array\}\backslash right)=\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 3\; \backslash \backslash \backslash \; 2\{,\}65\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

Wir suchen nun einen Vektor $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{u\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; u\_x\; \backslash \backslash \backslash \; u\_y\; \backslash end\{array\}\backslash right)$, für den das Skalarprodukt mit $\vec{r}\backslash vec\{r\}$ Null ergibt. Hierfür kannst du immer den Vektor $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-r_y\\ r_x\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{u\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -r\_y\; \backslash \backslash \backslash \; r\_x\; \backslash end\{array\}\backslash right)$ nehmen, weil:

Der Richtungsvektor der Tangente ist daher:

$\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{2,65}\\ 3\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{u\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -2\{,\}65\; \backslash \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

Der Punkt $\vec{B}=\left(\begin{array}{c}19\\ \mathrm{10,65}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{B\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 19\; \backslash \backslash \backslash \; 10\{,\}65\; \backslash end\{array\}\backslash right)$ liegt auf der Tangente und kann somit als Aufpunkt verwendet werden. Die Tangentengleichung lautet dann:

$t:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}19\\ \mathrm{10,65}\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-\mathrm{2,65}\\ 3\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; t:\backslash vec\{X\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 19\; \backslash \backslash \backslash \; 10\{,\}65\; \backslash end\{array\}\backslash right)+\backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -2\{,\}65\; \backslash \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

Der gegebene Punkt liegt außerhalb des Kreises

Vor allem, wenn der gegebene Punkt außerhalb des Kreises liegt, vereinfacht die Vektorrechnung die Berechnung der Tangente sehr.

Gegeben ist der Mittelpunkt $\vec{M}=\left(\begin{array}{c}{M}_x\\ M_y\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{M\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; M\_x\; \backslash \backslash \backslash \; M\_y\; \backslash end\{array\}\backslash right)$ und der Radius $rr$ des Kreises sowie ein Punkt $\vec{Q}=\left(\begin{array}{c}{Q}_x\\ Q_y\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{Q\}=\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; Q\_x\; \backslash \backslash \backslash \; Q\_y\backslash end\{array\}\backslash right)$ außerhalb des Kreises.

Wir wollen die beiden Tangenten berechnen, die durch $\vec{Q}\backslash vec\{Q\}$ verlaufen und den Kreis in den Punkten $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$ und $\overrightarrow{S_2}\backslash vec\{S\_2\}$ berühren.

Die beiden Schnittpunkte $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$ und $\overrightarrow{S_2}\backslash vec\{S\_2\}$ kannst du mit dieser Formel berechnen:

Die beiden verschiedenen Punkte $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$ und $\overrightarrow{S_2}\backslash vec\{S\_2\}$ ergeben sich dadurch, indem du einmal für das $\pm \backslash pm$ ein $++$ einsetzt und das andere Mal ein $--$.

Um jeweils die Tangentengleichung durch $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$ und $\overrightarrow{S_2}\backslash vec\{S\_2\}$ zu berechnen, kannst du so vorgehen wie im obigen Abschnitt, da wir ja nun den Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis gegeben haben.

Beispiel:

Berechne die Tangenten, die durch den Punkt $Q=(-2\mathrm{\mid }4)Q=\backslash left(-2|4\backslash right)$ außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt $M=\left(5\mathrm{\mid }5\right)M=\backslash left(5|5\backslash right)$ und Radius $r=2r=2$ verlaufen.

Berechnung der Berührpunkte der Tangenten mit dem Kreis

Mit der oberen Formel können wir die beiden Berührpunkte $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$ und $\overrightarrow{S_2}\backslash vec\{S\_2\}$ berechnen. Davor berechnen wir $\mid \overrightarrow{MQ}\mid \mid \backslash vec\{MQ\}\mid$, um die Rechnung mit der Formel etwas übersichtlicher zu gestalten:

$\mid \overrightarrow{MQ}\mid =\mid \vec{Q}-\vec{M}\mid =\mid \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\mid =\mid \left(\begin{array}{c}-7\\ -1\end{array}\right)\mid =\sqrt{(-7{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{50}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \mid \backslash vec\{MQ\}\mid =\mid \backslash vec\{Q\}-\backslash vec\{M\}\mid =\backslash Big\backslash vert\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -2\; \backslash \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{array\}\backslash right)-\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; 5\; \backslash end\{array\}\backslash right)\backslash Big\backslash vert\; =\; \backslash Big\backslash vert\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -7\; \backslash \backslash \backslash \; -1\; \backslash end\{array\}\backslash right)\; \backslash Big\backslash vert\; =\backslash sqrt\{(-7)^2+(-1)^2\}=\backslash sqrt\{50\}$

$\vec{S}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)+\frac{2^2}{{\sqrt{50}}^2}\cdot \left(\begin{array}{c}-2-5\\ 4-5\end{array}\right)\pm \sqrt{50-4}\cdot \frac{2}{50}\cdot \left(\begin{array}{c}-4+5\\ -2-5\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{S\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; 5\backslash end\{array\}\backslash right)+\; \backslash frac\{2^2\}\{\backslash sqrt\{50\}^2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -2-5\; \backslash \backslash \backslash \; 4-5\; \backslash end\{array\}\backslash right)\backslash pm\; \backslash sqrt\{50\; -\; 4\}\backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{50\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -4+5\; \backslash \backslash \backslash \; -2-5\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

Jetzt rechnen wir aus:

$\vec{S}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)+\frac{4}{50}\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -1\end{array}\right)\pm \sqrt{46}\cdot \frac{1}{25}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -7\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{S\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; 5\backslash end\{array\}\backslash right)+\; \backslash frac\{4\}\{50\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -7\; \backslash \backslash \backslash \; -1\; \backslash end\{array\}\backslash right)\backslash pm\; \backslash sqrt\{46\}\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{25\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; -7\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

$\vec{S}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{14}{25}\\ -\frac{4}{50}\end{array}\right)\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{46}}{25}}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -7\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash vec\{S\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; 5\backslash end\{array\}\backslash right)+\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; -\backslash frac\{14\}\{25\}\; \backslash \backslash \backslash \; -\backslash frac\{4\}\{50\}\; \backslash end\{array\}\backslash right)\backslash pm\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\{46\}\}\{25\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; -7\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

$\vec{S}=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{c}111\\ 123\end{array}\right)\pm \frac{\sqrt{46}}{25}\left(\begin{array}{c}1\\ -7\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{S\}=\backslash frac\{1\}\{25\}\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 111\; \backslash \backslash \backslash \; 123\backslash end\{array\}\backslash right)\backslash pm\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{46\}\}\{25\}\backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}1\backslash \backslash \backslash \; -7\backslash end\{array\}\backslash right)$

Ein Berührpunkt der Tangente an den Kreis ist also:

$\overrightarrow{S_1}=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{c}111+\sqrt{46}\\ 123-7\sqrt{46}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{4,71}\\ \mathrm{3,02}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{S\_1\}=\backslash frac\{1\}\{25\}\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 111\; +\backslash sqrt\{46\}\backslash \backslash \backslash \; 123-7\backslash sqrt\{46\}\backslash end\{array\}\backslash right)\backslash approx\backslash begin\{pmatrix\}\; 4\{,\}71\backslash \backslash \backslash \; 3\{,\}02\; \backslash end\{pmatrix\}$

und der zweite Berührpunkt ist:

$\overrightarrow{S_2}=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{c}111-\sqrt{46}\\ 123+7\sqrt{46}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}\mathrm{4,17}\\ \mathrm{6,82}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{S\_2\}=\backslash frac\{1\}\{25\}\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 111\; -\backslash sqrt\{46\}\backslash \backslash \backslash \; 123+7\backslash sqrt\{46\}\backslash end\{array\}\backslash right)\backslash approx\backslash begin\{pmatrix\}\; 4\{,\}17\backslash \backslash \backslash \; 6\{,\}82\; \backslash end\{pmatrix\}$

Berechnung der Tangentengleichung für $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$

Nach dem oben beschriebenen Vorgehen berechnen wir nun die Tangentengleichung für die Tangente, die den Kreis im Punkt $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$ berührt.

Dafür berechnen wir als erstes den Radiusvektor $\overrightarrow{r_1}\backslash vec\{r\_1\}$:

$\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{S_1}-\vec{M}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,71}\\ \mathrm{3,02}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,29}\\ -\mathrm{1,98}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{r\_1\}=\backslash vec\{S\_1\}-\backslash vec\{M\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 4\{,\}71\; \backslash \backslash \backslash \; 3\{,\}02\backslash end\{array\}\backslash right)-\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; 5\backslash end\{array\}\backslash right)=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; -0\{,\}29\; \backslash \backslash \backslash \; -1\{,\}98\backslash end\{array\}\backslash right)$

Als Nächstes berechnen wir den Richtungsvektor $\overrightarrow{u_1}\backslash vec\{u\_1\}$ der Tangente. Dieser steht senkrecht auf $\overrightarrow{r_1}\backslash vec\{r\_1\}$, d.h. $\overrightarrow{r_1}\cdot \overrightarrow{u_1}=0\backslash vec\{r\_1\}\backslash cdot\; \backslash vec\{u\_1\}=0$.

$\overrightarrow{u_1}=\left(\begin{array}{c}-r_y\\ r_x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,98}\\ -\mathrm{0,29}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{u\_1\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; -r\_y\; \backslash \backslash \backslash \; r\_x\backslash end\{array\}\backslash right)=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 1\{,\}98\; \backslash \backslash \backslash \; -0\{,\}29\backslash end\{array\}\backslash right)$

Nun können wir die Tangentengleichung aufschreiben, weil wir den Richtungsvektor $\overrightarrow{u_1}\backslash vec\{u\_1\}$ berechnet haben und einen Punkt haben, der auf der Tangente liegt, nämlich $\overrightarrow{S_1}\backslash vec\{S\_1\}$:

$t_1:\vec{X}=\overrightarrow{S_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{u_1}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,71}\\ \mathrm{3,02}\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{1,98}\\ -\mathrm{0,29}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; t\_1:\backslash vec\{X\}=\backslash vec\{S\_1\}+\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash vec\{u\_1\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 4\{,\}71\; \backslash \backslash \backslash \; 3\{,\}02\backslash end\{array\}\backslash right)+\backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 1\{,\}98\; \backslash \backslash \backslash \; -0\{,\}29\backslash end\{array\}\backslash right)$

Berechnung der Tangentengleichung für $\overrightarrow{S_2}\backslash vec\{S\_2\}$

$\overrightarrow{r_2}=\overrightarrow{S_2}-\vec{M}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,17}\\ \mathrm{6,82}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,83}\\ \mathrm{1,82}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{r\_2\}=\backslash vec\{S\_2\}-\backslash vec\{M\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 4\{,\}17\; \backslash \backslash \backslash \; 6\{,\}82\backslash end\{array\}\backslash right)-\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 5\; \backslash \backslash \backslash \; 5\backslash end\{array\}\backslash right)=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; -0\{,\}83\; \backslash \backslash \backslash \; 1\{,\}82\; \backslash end\{array\}\backslash right)$

$\overrightarrow{u_2}=\left(\begin{array}{c}-r_y\\ r_x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,82}\\ -\mathrm{0,83}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash vec\{u\_2\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; -r\_y\; \backslash \backslash \backslash \; r\_x\backslash end\{array\}\backslash right)=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; -1\{,\}82\; \backslash \backslash \backslash \; -0\{,\}83\backslash end\{array\}\backslash right)$

$t_2:\vec{X}=\overrightarrow{S_2}+\lambda \cdot \overrightarrow{u_2}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,17}\\ \mathrm{6,82}\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,82}\\ -\mathrm{0,83}\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; t\_2:\backslash vec\{X\}=\backslash vec\{S\_2\}+\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash vec\{u\_2\}=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; 4\{,\}17\; \backslash \backslash \backslash \; 6\{,\}82\backslash end\{array\}\backslash right)+\backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}\; -1\{,\}82\; \backslash \backslash \backslash \; -0\{,\}83\backslash end\{array\}\backslash right)$

Wir können alternativ als Richtungsvektoren natürlich auch $\overrightarrow{Q{S}_1}\backslash overrightarrow\{QS\_1\}$ bzw. $\overrightarrow{Q{S}_2}\backslash overrightarrow\{QS\_2\}$ verwenden.