Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Tangente an Kreis

Eine Kreistangente ist eine Gerade, die den Kreis nur in einem Punkt, dem Berührpunkt, berührt. Eine Tangente schneidet im Gegensatz zu einer Sekante den Kreis nicht.

Die Kreistangente tt berührt den Kreis im Berührpunkt BB. Die Tangente steht immer senkrecht auf dem Radius des Kreises:

Tangente an Kreis berechnen

Wir wollen die Tangentengleichung an einen Kreis durch einen Punkt berechnen. Gegeben ist der Mittelpunkt des Kreises und ein weiterer Punkt. Wir unterscheiden zwei Fälle:

  • Der gegebene Punkt liegt auf dem Kreis. Der Punkt ist also der Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis.

  • Der gegebene Punkt liegt außerhalb des Kreises. Die Tangente soll durch diesen Punkt verlaufen und zugleich den Kreis berühren.

Der gegebene Punkt liegt auf dem Kreis

Gegeben ist der Mittelpunkt M(xM, yM)M\left(x_M,\ y_M\right) sowie der Berührpunkt B(xB,yB)B\left(x_B,y_B\right). Die Tangentengleichung kannst du mit diesen Schritten bestimmen:

  1. Berechne die Steigung mgm_g der Geraden, die durch MM und BB verläuft.

  2. Die Steigung mtm_t der Tangente erhältst du durch mt=1mgm_t=-\frac{1}{m_g}, weil für senkrechte Geraden das Produkt ihrer Steigungen immer 1-1 ergibt.

  3. Setze den Punkt BB in die Tangentengleichung t(x)=mtx+kt\left(x\right)=m_t\cdot x+k ein und löse nach kk auf.

  4. Jetzt kannst du mtm_t und kk in die Tangentengleichung einsetzen.

Beispiel:

Bestimme die Gleichung der Tangente, die den Kreis mit dem Mittelpunkt M(31)M\left(3|1\right) im Punkt P(6 3,65)P\left(6|\ 3{,}65\right) berührt.

Wir berechnen die Steigung der Geraden gg, die durch MM und PP verläuft. Dafür machen wir uns das Steigungsdreieck zunutze:

Die Steigung mgm_g der Geraden gg ist demnach die Differenz der yy-Koordinaten von PP und MM geteilt durch die Differenz ihrer xx-Koordinaten:

Die Tangente tt steht senkrecht auf dieser Geraden gg. Für senkrechte Geraden ergibt das Produkt ihrer Steigungen immer 1-1:

Wenn wir durch mgm_g teilen, erhalten wir die Formel für die Steigung der Tangente:

Nun haben wir bereits die Steigung der Tangente berechnet. Für die Tangentengleichung t(x)=mtx+ktt(x)=m_t \cdot x + k_t müssen wir also jetzt noch den yy-Achsenabschnitt ktk_t der Tangente berechnen. Hierfür setzen wir den Punkt PP, der auf der Tangente liegt, in die Tangentengleichung ein und lösen nach ktk_t auf:

t(x)\displaystyle t(x)==1,13x+kt\displaystyle -1{,}13x+k_t

Setze PP in die Gleichung ein

3,65\displaystyle 3{,}65==1,136+kt\displaystyle -1{,}13\cdot 6 +k_t

Ausrechnen

3,65\displaystyle 3{,}65==6,78+kt\displaystyle -6{,}78+k_t+6,78\displaystyle +6{,}78
10,43\displaystyle 10{,}43==kt\displaystyle k_t

Der yy-Achsenabschnitt der Tangente ist also kt=10,43k_t=10{,}43.

Damit haben wir alles ausgerechnet und müssen nun nur noch die vollständige Tangentengleichung notieren:

t(x)=1,13x+10,43t\left(x\right)=-1{,}13x+10{,}43

Der gegebene Punkt liegt außerhalb des Kreises

Gegeben ist der Mittelpunkt M(xM, yM)M\left(x_M,\ y_M\right) und der Radius rr des Kreises sowie ein Punkt Q(xQ, yQ)Q\left(x_Q,\ y_Q\right) außerhalb des Kreises. Graphisch können wir erkennen, dass es zwei Kreistangenten gibt, die durch den Punkt QQ verlaufen.

Wir wissen, dass die Tangente senkrecht auf dem Radius des Kreises steht. Deshalb können wir sowohl für S1S_1 und S2S_2 ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

Dieses rechtwinklige Dreieck besitzt seinen rechten Winkel immer im Berührpunkt S1S_1 mit dem Kreis. Deshalb können wir über die Strecke QM\overline{QM} einen Thaleskreis legen. S1S_1liegt auf diesem Thaleskreis. Deshalb hat das Dreieck mit der Hypotenuse QM\overline{QM} in S1S_1 einen rechten Winkel.

Der Mittelpunkt TT dieses Thaleskreises liegt genau auf der Hälfte der Strecke QM\overline{QM}.

Um die Tangenten durch QQ an den Kreis zu berechnen, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

  • Stelle die Kreisgleichung für den Kreis k1k_1 mit Mittelpunkt MM auf:

  • Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes TT des Thaleskreises. Dieser befindet sich genau in der Mitte der Strecke QM\overline{QM}. Deshalb sind die Koordinaten von TT die "durchschnittlichen" xx- bzw. yy-Koordinaten von QQ und MM.T(12(xM+xQ);12(yM+yQ))T(\frac{1}{2}(x_M+x_Q); \frac{1}{2}(y_M+y_Q))

  • Stelle die Kreisgleichung für den Thaleskreis k2k_2 mit Mittelpunkt TT auf:

  • Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise. Das entspricht S1S_1 und S2S_2, also den Berührpunkten der Tangenten an k1k_1. Du kannst die Schnittpunkte berechnen, indem du eine der beiden Gleichungen nach xx oder yy auflöst und dann in die andere Gleichung einsetzt. Du erhältst dann sowohl für xx, als auch für yy zwei Lösungen, die den beiden Punkten S1S_1 und S2S_2 entsprechen.

  • Wenn du S1S_1 und S2S_2 berechnet hast, hast du die beiden Berührpunkte der Tangenten an den Kreis. Du hast das kompliziertere Problem dann auf das obige Problem zurückgeführt: Nämlich wie man eine Tangente an den Kreis berechnet, wenn der gegebene Punkt auf dem Kreis liegt. Du kannst dann vorgehen, wie oben beschreiben.

Anmerkung: Die hier beschriebene Rechnung kann sich als sehr kompliziert und langwierig erweisen. Meistens wird die Rechnung in der Schule nicht gefordert.

Tangente an Kreis berechnen mit Vektoren

Der gegebene Punkt liegt auf dem Kreis

Wenn du bereits mit Vektoren und vektoriell dargestellten Geradengleichungen umgehen kannst, findest du hier eine alternative Lösungsmethode zu der oben dargestellten.

Gegeben ist der Mittelpunkt M=(Mx My)\def\arraystretch{1.25} \vec{M} = \left( \begin{array}{c} M_x \\\ M_y \end{array}\right) und der Berührpunkt der Tangente an den Kreis B=(Bx By)\def\arraystretch{1.25} \vec{B} = \left( \begin{array}{c} B_x \\\ B_y \end{array}\right).

Die Tangentengleichung tt kannst du mit diesen Schritten bestimmen:

  1. Berechne den Radiusvektor r=BM\vec{r}=\vec{B}-\vec{M}

  2. Finde einen Vektor u\vec{u}, der senkrecht auf r\vec{r} steht. Dafür gilt ru=0\vec{r} \cdot \vec{u}=0. u\vec{u} ist der Richtungsvektor der Tangente.

  3. B\vec{B} ist der Aufpunkt der Tangente. Du kannst nun die Tangentengleichung formulieren: t:X=uλ+Bt:\vec{X}=\vec{u} \cdot \lambda + \vec{B}

Beispiel:

Stelle die Gleichung der Tangente auf, die den Kreis mit Mittelpunkt M=(16 8)\def\arraystretch{1.25} \vec{M}=\left( \begin{array}{c} 16 \\\ 8 \end{array}\right)im Punkt B=(19 10,65)\def\arraystretch{1.25} \vec{B}=\left( \begin{array}{c} 19 \\\ 10{,}65 \end{array}\right) berührt.

r=BM=(19 10,65)(16 8)=(3 2,65)\def\arraystretch{1.25} \vec{r}=\vec{B}-\vec{M}= \left( \begin{array}{c} 19 \\\ 10{,}65 \end{array}\right)-\left( \begin{array}{c} 16 \\\ 8 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 2{,}65 \end{array}\right)

Wir suchen nun einen Vektor u=(ux uy)\def\arraystretch{1.25} \vec{u}=\left( \begin{array}{c} u_x \\\ u_y \end{array}\right), für den das Skalarprodukt mit r\vec{r} Null ergibt. Hierfür kannst du immer den Vektor u=(ry rx)\def\arraystretch{1.25} \vec{u}=\left( \begin{array}{c} -r_y \\\ r_x \end{array}\right) nehmen, weil:

(ry)rx+rxry\displaystyle (-r_y)\cdot r_x+r_x\cdot r_y==0\displaystyle 0

Der Richtungsvektor der Tangente ist daher:

u=(2,65 3)\def\arraystretch{1.25} \vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2{,}65 \\\ 3 \end{array}\right)

Der Punkt B=(19 10,65)\def\arraystretch{1.25} \vec{B}=\left( \begin{array}{c} 19 \\\ 10{,}65 \end{array}\right) liegt auf der Tangente und kann somit als Aufpunkt verwendet werden. Die Tangentengleichung lautet dann:

t:X=(19 10,65)+λ(2,65 3)\def\arraystretch{1.25} t:\vec{X}=\left( \begin{array}{c} 19 \\\ 10{,}65 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2{,}65 \\\ 3 \end{array}\right)

Der gegebene Punkt liegt außerhalb des Kreises

Vor allem, wenn der gegebene Punkt außerhalb des Kreises liegt, vereinfacht die Vektorrechnung die Berechnung der Tangente sehr.

Gegeben ist der Mittelpunkt M=(Mx My)\def\arraystretch{1.25} \vec{M}=\left( \begin{array}{c} M_x \\\ M_y \end{array}\right) und der Radius rr des Kreises sowie ein Punkt Q=(Qx Qy)\def\arraystretch{1.25} \vec{Q}=\left( \begin{array}{c} Q_x \\\ Q_y\end{array}\right) außerhalb des Kreises.

Wir wollen die beiden Tangenten berechnen, die durch Q\vec{Q} verlaufen und den Kreis in den Punkten S1\vec{S_1} und S2\vec{S_2} berühren.

Die beiden Schnittpunkte S1\vec{S_1} und S2\vec{S_2} kannst du mit dieser Formel berechnen:

S=M+r2MQ2(QxMx QyMy)±r2(r2MQ)21MQ(Qy+My QxMx)=M+r2MQ2(QxMx QyMy)±MQ2r2rMQ2(Qy+My QxMx)\def\arraystretch{1.25} \vec{S}=\vec{M}+ \frac{r^2}{∣\overrightarrow{MQ}∣^2} \cdot \left( \begin{array}{c} Q_x-M_x \\\ Q_y-M_y \end{array}\right)\pm \sqrt{r^2 - \left(\frac{r^2}{∣\overrightarrow{MQ}∣}\right)^2}\cdot \frac{1}{∣\overrightarrow{MQ}∣} \cdot \left( \begin{array}{c} -Q_y+M_y \\\ Q_x-M_x \end{array}\right)\\=\vec{M}+ \frac{r^2}{∣\overrightarrow{MQ}∣^2} \cdot \left( \begin{array}{c} Q_x-M_x \\\ Q_y-M_y \end{array}\right)\pm \sqrt{∣\overrightarrow{MQ}∣^2 - r^2}\cdot \frac{r}{∣\overrightarrow{MQ}∣^2} \cdot \left( \begin{array}{c} -Q_y+M_y \\\ Q_x-M_x \end{array}\right)

Die beiden verschiedenen Punkte S1\vec{S_1} und S2\vec{S_2} ergeben sich dadurch, indem du einmal für das ±\pm ein ++ einsetzt und das andere Mal ein -.

Um jeweils die Tangentengleichung durch S1\vec{S_1} und S2\vec{S_2} zu berechnen, kannst du so vorgehen wie im obigen Abschnitt, da wir ja nun den Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis gegeben haben.

Beispiel:

Berechne die Tangenten, die durch den Punkt Q=(24)Q=\left(-2|4\right) außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt M=(55)M=\left(5|5\right) und Radius r=2r=2 verlaufen.

Berechnung der Berührpunkte der Tangenten mit dem Kreis

Mit der oberen Formel können wir die beiden Berührpunkte S1\vec{S_1} und S2\vec{S_2} berechnen. Davor berechnen wir MQ∣\vec{MQ}∣, um die Rechnung mit der Formel etwas übersichtlicher zu gestalten:

MQ=QM=(2 4)(5 5)=(7 1)=(7)2+(1)2=50\def\arraystretch{1.25} ∣\vec{MQ}∣=∣\vec{Q}-\vec{M}∣=\Big\vert\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \end{array}\right)-\left( \begin{array}{c} 5 \\\ 5 \end{array}\right)\Big\vert = \Big\vert \left( \begin{array}{c} -7 \\\ -1 \end{array}\right) \Big\vert =\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}=\sqrt{50}

S=(5 5)+22502(25 45)±504250(4+5 25)\def\arraystretch{1.25} \vec{S}=\left(\begin{array}{c} 5 \\\ 5\end{array}\right)+ \frac{2^2}{\sqrt{50}^2} \cdot \left( \begin{array}{c} -2-5 \\\ 4-5 \end{array}\right)\pm \sqrt{50 - 4}\cdot \frac{2}{50} \cdot \left( \begin{array}{c} -4+5 \\\ -2-5 \end{array}\right)

Jetzt rechnen wir aus:

S=(5 5)+450(7 1)±46125(1 7)\def\arraystretch{1.25} \vec{S}=\left(\begin{array}{c} 5 \\\ 5\end{array}\right)+ \frac{4}{50} \cdot \left( \begin{array}{c} -7 \\\ -1 \end{array}\right)\pm \sqrt{46}\cdot \frac{1}{25} \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -7 \end{array}\right)

S=(5 5)+(1425 450)±4625(1 7)\def\arraystretch{2} \vec{S}=\left(\begin{array}{c} 5 \\\ 5\end{array}\right)+ \left( \begin{array}{c} -\frac{14}{25} \\\ -\frac{4}{50} \end{array}\right)\pm \dfrac{\sqrt{46}}{25} \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -7 \end{array}\right)

S=125(111 123)±4625(1 7)\def\arraystretch{1.25} \vec{S}=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{c} 111 \\\ 123\end{array}\right)\pm \frac{\sqrt{46}}{25}\left( \begin{array}{c}1\\\ -7\end{array}\right)

Ein Berührpunkt der Tangente an den Kreis ist also:

S1=125(111+46 123746)(4,71 3,02)\def\arraystretch{1.25} \vec{S_1}=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{c} 111 +\sqrt{46}\\\ 123-7\sqrt{46}\end{array}\right)\approx\begin{pmatrix} 4{,}71\\\ 3{,}02 \end{pmatrix}

und der zweite Berührpunkt ist:

S2=125(11146 123+746)(4,17 6,82)\def\arraystretch{1.25} \vec{S_2}=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{c} 111 -\sqrt{46}\\\ 123+7\sqrt{46}\end{array}\right)\approx\begin{pmatrix} 4{,}17\\\ 6{,}82 \end{pmatrix}

Berechnung der Tangentengleichung für S1\vec{S_1}

Nach dem oben beschriebenen Vorgehen berechnen wir nun die Tangentengleichung für die Tangente, die den Kreis im Punkt S1\vec{S_1} berührt.

Dafür berechnen wir als erstes den Radiusvektor r1\vec{r_1}:

r1=S1M=(4,71 3,02)(5 5)=(0,29 1,98)\def\arraystretch{1.25} \vec{r_1}=\vec{S_1}-\vec{M}=\left(\begin{array}{c} 4{,}71 \\\ 3{,}02\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 5 \\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -0{,}29 \\\ -1{,}98\end{array}\right)

Als nächstes berechnen wir den Richtungsvektor u1\vec{u_1} der Tangente. Dieser steht senkrecht auf r1\vec{r_1}, d.h. r1u1=0\vec{r_1}\cdot \vec{u_1}=0.

u1=(ry rx)=(1,98 0,29)\def\arraystretch{1.25} \vec{u_1}=\left(\begin{array}{c} -r_y \\\ r_x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1{,}98 \\\ -0{,}29\end{array}\right)

Nun können wir die Tangentengleichung aufschreiben, weil wir den Richtungsvektor u1\vec{u_1} berechnet haben und einen Punkt haben, der auf der Tangente liegt, nämlich S1\vec{S_1}:

t1:X=S1+λu1=(4,71 3,02)+λ(1,98 0,29)\def\arraystretch{1.25} t_1:\vec{X}=\vec{S_1}+ \lambda \cdot \vec{u_1}=\left(\begin{array}{c} 4{,}71 \\\ 3{,}02\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1{,}98 \\\ -0{,}29\end{array}\right)

Berechnung der Tangentengleichung für S2\vec{S_2}

r2=S2M=(4,17 6,82)(5 5)=(0,83 1,82)\def\arraystretch{1.25} \vec{r_2}=\vec{S_2}-\vec{M}=\left(\begin{array}{c} 4{,}17 \\\ 6{,}82\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 5 \\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -0{,}83 \\\ 1{,}82 \end{array}\right)

u2=(ry rx)=(1,82 0,83)\def\arraystretch{1.25} \vec{u_2}=\left(\begin{array}{c} -r_y \\\ r_x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1{,}82 \\\ -0{,}83\end{array}\right)

t2:X=S2+λu2=(4,17 6,82)+λ(1,82 0,83)\def\arraystretch{1.25} t_2:\vec{X}=\vec{S_2}+ \lambda \cdot \vec{u_2}=\left(\begin{array}{c} 4{,}17 \\\ 6{,}82\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1{,}82 \\\ -0{,}83\end{array}\right)

Wir können alternativ als Richtungsvektoren natürlich auch QS1\overrightarrow{QS_1} bzw. QS2\overrightarrow{QS_2} verwenden.

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?