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Satz des Thales

Der Satz des Thales eschreibt folgenden Zusammenhang:

Zeichne einen Halbkreis und markiere einen Punkt auf dem Kreisbogen. Wenn du diesen Punkt mit den Eckunkten des Durchmessers verbindest, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel befindet sich gegenüber des Durchmessers des Kreises.

Zudem ist auch die Umkehrung des Satzes richtig.

Vorgehen

Man beginnt mit einer beliebigen Strecke (hier: Strecke [AB][AB]).

Nun konstruiert man einen Thaleskreis (hier mit Mittelpunkt MM).

Nun kann man einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen makieren (hier Punkt CC).

Nun verbindet man die Punkte A,BA,B und CC zu einem Dreieck.

Der Winkel ACB\sphericalangle ACB ist ein rechter Winkel.

Umkehrung des Satz des Thales

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises.

Anwendung

Der Thaleskreis ist hilfreich zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke.

Außerdem kann man mit ihm eine Tangente an einen Kreis konstruieren, die durch einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.

Warum gilt der Satz des Thales?

Das der Satz des Thales immer gilt, zeigt folgender Beweis:

Man zeichnet zuerst ein Dreieck ABC\triangle ABC mit Hypotenuse als Durchmesser eines Kreises und den dritten Punkt des Dreiecks auf den Kreisbogen des Kreises (hier: Punkt CC).

Zusätzlich trägt man die Seitenhalbierende hh der Hypotenuse ein. Damit entstehen zwei neue Dreiecke:

Wenn man die Winkel in den Dreiecken nun noch benennt, erhältst du folgendes Bild:

Nun ist bereits bekannt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks 180°180° beträgt.

Also sowohl in dem Dreieck ABC\triangle ABC als auch in den Dreiecken AMC\triangle AMC und MBC\triangle MBC.

Daher folgt:

Außerdem gilt:

Die Dreiecke AMC\triangle AMC und MBC\triangle MBC sind gleichschenklig, da p=q=h=Radius des Thaleskreisesp=q=h= \text{Radius des Thaleskreises}.

Also:

Damit kommt man auf die Rechnung:

α+β+(γ1+γ2)\displaystyle \alpha+\beta+(\gamma_1+\gamma_2)==180°\displaystyle 180°

Ersetze α=γ1\alpha = \gamma _1 und β=γ2\beta =\gamma _2 aus der Überlegung von vorhin.

γ1+γ2+(γ1+γ2)\displaystyle \gamma_1+\gamma_2+(\gamma_1+\gamma_2)==180°\displaystyle 180°

Fasse zusammen.

2(γ1+γ2)\displaystyle 2\cdot\left(\gamma_1+\gamma_2\right)==180°\displaystyle 180°:2\displaystyle :2
γ1+γ2\displaystyle \gamma_1+\gamma_2==90°\displaystyle 90°
γ\displaystyle \gamma==90°\displaystyle 90°

Damit ist gezeigt, dass der Winkel γ=γ1+γ2\gamma=\gamma_1+\gamma_2 ein rechter Winkel ist, egal wie man den Punkt auf der Kreisbahn wählt.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

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Quellen


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