Satz des Thales

Nach dem Satz des Thales gilt:

Wenn ein Dreieck aus den Eckpunkten des Durchmessers eines (Thales-)Kreises und einem weiteren Punkt auf dem Kreisbogen gebildet wird, so ist der Winkel bei dem Punkt auf dem Kreisbogen ein rechter Winkel.

Beispiel

Man beginnt mit einer beliebigen Strecke (hier: Strecke [AB][AB]).

Nun konstruiert man einen Thaleskreis (hier mit Mittelpunkt MM).

Nun kann man einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen makieren (hier Punkt CC).

Nun verbindet man die Punkte A,BA,B und CC zu einem Dreieck.

Der Winkel ACB\sphericalangle ACB ist ein rechter Winkel.

Du kannst den Punkt (hier: Punkt C)C) in der graphischen Veranschaulichung (Applet) rechts beliebig verschieben und mit ihm jedes mal genauso verfahren um die Aussage zu überprüfen.

Umkehrung des Satz des Thales

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises.

Anwendung

Der Thaleskreis ist hilfreich zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke.

Außerdem kann man mit ihm eine Tangente an einen Kreis konstruieren, die durch einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.

Vertiefung: Beweis, Satz des Thales

Man zeichnet zuerst ein Dreieck ABC\triangle ABC mit Hypotenuse als Durchmesser eines Kreises und den dritten Punkt des Dreiecks auf den Kreisbogen des Kreises (hier: Punkt CC).

Zusätzlich trägt man die Seitenhalbierende hh der Hypotenuse ein. Damit entstehen zwei neue Dreiecke:

Nun ist bereits bekannt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks 180°180° beträgt.

Also sowohl in dem Dreieck ABC\triangle ABC als auch in den Dreiecken AMC\triangle AMC und MBC\triangle MBC.

Deshalb gilt:

Außerdem gilt:

Die Dreiecke AMC\triangle AMC und MBC\triangle MBC sind gleichschenklig, da p=q=h=Radius des Thaleskreisesp=q=h= \text{Radius des Thaleskreises}.

Deshalb gilt:

Damit kommt man auf die Rechnung:

Damit ist gezeigt, dass der Winkel γ=γ1+γ2\gamma=\gamma_1+\gamma_2 ein rechter Winkel ist, egal wie man den Punkt auf der Kreisbahn wählt.


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