Kugeln in der analytischen Geometrie

Die Koordinaten des Kugelmittelpunktes $M$ und der Kugelradius $r$ definieren eine Kugel im Raum. Die Oberfläche der Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte $X$ , die vom Mittelpunkt $M$ den gleichen Abstand $r$ haben.

Herleitung der Koordinantegleichung der Kugel

Der Vektor $\vec{M X} = \vec{x} - \vec{m}$ hat demnach immer den Betrag r.

Alle Punkte auf der Kugeloberfläche erfüllen die Gleichung

$K : | \vec{x} - \vec{m} | = r$ .

Äquivalent dazu ist die Gleichung

$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$

oder

$K : (\vec{x} - \vec{m}) \circ (\vec{x} - \vec{m}) = r^{2}$

Die Kugelgleichung kann auch als Koordinatengleichung angegeben werden:

$K : (\vec{x} - \vec{m}) \circ (\vec{x} - \vec{m}) = r^{2} \Rightarrow {((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}))}^{2} = r^{2}$

$K : {(\begin{array}{c} x_{1} - m_{1} \\ x_{2} - m_{2} \\ x_{3} - m_{3} \end{array})}^{2} = r^{2} \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} - m_{1} \\ x_{2} - m_{2} \\ x_{3} - m_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} - m_{1} \\ x_{2} - m_{2} \\ x_{3} - m_{3} \end{array}) = r^{2}$

Nach Berechnung des Skalarproduktes erhältst du die Koordinatengleichung der Kugel.

K : (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}

Beispiel

Gegeben sind von einer Kugel der Kugelmittelpunkt $M (- 1 | 7 | 3)$ und der Kugelradius $r = 5$ . Wie lautet die Vektorgleichung und die Koordinatengleichung dieser Kugel?

Lösung

Setze die gegebenen Werte $M (- 1 | 7 | 3)$ und $r = 5$ in die Kugelgleichung ein:

$(\vec{x} - \vec{m})^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze $M$ und $r$ ein.
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 3 \end{array}))}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Berechne auf der rechten Seite das Quadrat.
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 3 \end{array}))}^{2}$	$=$	$25$

Du hast nun die Vektorgleichung der Kugel aufgestellt. Für die Koordinatengleichung berechnest du das Skalarprodukt.

$(\begin{array}{c} x_{1} - (- 1) \\ x_{2} - 7 \\ x_{3} - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} - (- 1) \\ x_{2} - 7 \\ x_{3} - 3 \end{array}) = 25$

$\Rightarrow K : (x_{1} + 1)^{2} + (x_{2} - 7)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 25$

Antwort: Die Vektorgleichung lautet $K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 3 \end{array}))}^{2} = 25$ und die Koordinatengleichung ist $K : (x_{1} + 1)^{2} + (x_{2} - 7)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 25$ .

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