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Kugeln in der analytischen Geometrie

Kugel

Die Koordinaten des Kugelmittelpunktes MM und der Kugelradius rr definieren eine Kugel im Raum. Die Oberfläche der Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte XX, die vom Mittelpunkt MM den gleichen Abstand rr haben.

Herleitung der Koordinantegleichung der Kugel

Der Vektor MX=xm\overrightarrow{MX}=\vec x-\vec m hat demnach immer den Betrag r.

Herleitung Kugelgleichung

Alle Punkte auf der Kugeloberfläche erfüllen die Gleichung

K: xm=rK:\ |\vec{x}-\vec{m}|=r.

Äquivalent dazu ist die Gleichung

K: (xm)2=r2K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2

oder

K: (xm)(xm)=r2K:\ (\vec{x}-\vec{m})\circ (\vec{x}-\vec{m})=r^2

Die Kugelgleichung kann auch als Koordinatengleichung angegeben werden:

K: (xm)(xm)=r2        ((x1x2x3)(m1m2m3))2=r2K:\ (\vec{x}-\vec{m})\circ (\vec{x}-\vec{m})=r^2\;\;\Rightarrow\;\;\left(\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} m_1 \\m_2 \\ m_3 \end{pmatrix}\right)^2=r^2

K: (x1m1x2m2x3m3)2=r2        (x1m1x2m2x3m3)(x1m1x2m2x3m3)=r2K:\ \begin{pmatrix} x_1-m_1 \\x_2-m_2 \\ x_3-m_3 \end{pmatrix}^2=r^2\;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix} x_1-m_1 \\x_2-m_2 \\ x_3-m_3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} x_1-m_1 \\x_2-m_2 \\ x_3-m_3 \end{pmatrix}=r^2

Nach Berechnung des Skalarproduktes erhältst du die Koordinatengleichung der Kugel.

Beispiel

Gegeben sind von einer Kugel der Kugelmittelpunkt M(173)\textcolor{ff6600}{M(-1|7|3)} und der Kugelradius r=5\textcolor{006400}{r=5}. Wie lautet die Vektorgleichung und die Koordinatengleichung dieser Kugel?

Lösung

Setze die gegebenen Werte M(173)\textcolor{ff6600}{M(-1|7|3)} und r=5\textcolor{006400}{r=5} in die Kugelgleichung ein:

(xm)2\displaystyle (\vec{x}-\vec{\textcolor{ff6600}{m}})^2==r2\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2

Setze M\textcolor{ff6600}{M} und r\textcolor{006400}{r} ein.

(x(173))2\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix} -1 \\7 \\ 3 \end{pmatrix}}\right)^2==52\displaystyle \textcolor{006400}{5}^2

Berechne auf der rechten Seite das Quadrat.

(x(173))2\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix} -1 \\7 \\ 3 \end{pmatrix}\right)^2==25\displaystyle 25

Du hast nun die Vektorgleichung der Kugel aufgestellt. Für die Koordinatengleichung berechnest du das Skalarprodukt.

(x1(1)x27x33)(x1(1)x27x33)=25        \begin{pmatrix} x_1-(-1) \\x_2-7 \\ x_3-3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} x_1-(-1) \\x_2-7 \\ x_3-3 \end{pmatrix}=25\;\;\;\;

 K: (x1+1)2+(x27)2+(x33)2=25\Rightarrow\ K:\ (x_1+1)^2+(x_2-7)^2+(x_3-3)^2=25

Antwort: Die Vektorgleichung lautet K: (x(173))2=25K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix} -1 \\7 \\ 3 \end{pmatrix}\right)^2=25 und die Koordinatengleichung ist K: (x1+1)2+(x27)2+(x33)2=25K:\ (x_1+1)^2+(x_2-7)^2+(x_3-3)^2=25.

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