Kugel

Eine Kugel ist im dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist. Ihr begegnet man überall und jederzeit. Man könnte bei Vollmond mit einem Basketball in der einen Hand und einem runden Apfel in der anderen Hand spazieren gehen und wäre nur von Kugeln umgeben!

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Kreis $\sf \qquad \qquad \rightarrow$

Kugel

Mittelpunkt $\sf M$

denselben Abstand von Kreislinie zum Mittelpunkt $\sf M = (x|y)$

denselben Abstand von Kugeloberfläche zum Zentrum $\sf M = (x|y|z)$

Radius $\sf r$

Strecke $\sf r$ zwischen einem Punkt $\sf P$ auf der Kreislinie zu $\sf M$ $\sf r=\overline{PM}$

Strecke $\sf r$ zwischen einem Punkt $\sf P$ auf der Kugeloberfläche zu $\sf M$ $\sf r = \overline{PM}$

Dimension

Ein Kreis befindet sich auf einer Ebene.

Eine Kugel befindet sich in einem Raum.

Zusammenfassung

Bei einem Kreis haben alle Punkte auf einer Ebene denselben Abstand $\sf r$ zum Mittelpunkt $\sf M$ .

Bei einer Kugel haben alle Punkte in einem Raum denselben Abstand $\sf r$ zum Zentrum $\sf M$ .

Formelsammlung

Volumen

Wenn man wissen möchte, wie viel Rauminhalt eine Kugel hat, so muss man das Volumen berechnen.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

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Beispiel

Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser $\sf d$ von $\sf 57{,}2 \; {mm}$ hat.

Bevor du deinen gegebenen Wert sofort in die neue Formel einzusetzt, musst du dir klar machen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hinsichtlich Radius und Durchmesser nicht unterscheiden.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Setze den gegebenen Wert ein.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Nun kannst du den ausgerechneten Wert in die Volumenformel einsetzen.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Rechne anschließend aus und forme ggf. deine Einheit in eine Größere um.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Die Billardkugel hat also ein Volumen von $\sf 98{,}0 \; {cm}^3$ .

Weitere Aufgaben zur Berechnung von Volumina verschiedener Kugel kann man auch hier finden.

Oberflächeninhalt

Vereinfacht kann man sich eine Oberfläche wie einen Mantel vorstellen, der sich um die geometrische Figur legt. Eine Zeitungsseite kann so zu einem Kegel geformt werden, wenn man sie rollt. Diese Fläche ergibt die Oberfläche.

Wenn man nun die Kugel in Farbe eintaucht, so markiert man dessen Oberflächeninhalt. Mit Hilfe dieser Fläche kann man z. B. ausrechnen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dachspitze vom Olympiaturm vergolden kann.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Beispiel

Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von $\sf 576 \pi \; {cm}^2$ . Was ist dann der Radius $\sf r$ ?

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Stelle zunächst nach dem Wert $\sf r^2$ um.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Ziehe anschließend die Wurzel, damit am Ende wirklich das Gesuchte rauskommt.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Setze nun den gegeben Wert ein.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Der Radius eines Basketballs ist also $\sf 12 \; {cm}$ .

Hier und hier kann man auch weitere Aufgaben zu der Oberflächenberechnung finden.

Kugelumfang

Der Kugelumfang ist der Umfang an der breitesten Stelle der Kugel. Diese entspricht einem Kreis. Man legt sozusagen ein Maßband um die geometrische Figur und misst die Breite.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Beispiel

Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit dem Radius $\sf r = 2 \; {cm}$ ?

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Setze den Wert $\sf r$ ein.

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Eine Eiskugel hat den Umfang von $\sf 4 \pi \; {cm}$ .

Weitere Aufgaben kann man auch hier und hier finden.

Exkursion: Kugel als Punktmenge

Eine Menge fasst Objekte mit denselben Eigenschaften zusammen. So bilden bspw. positive ganze Zahlen die Menge der natürlichen Zahlen $\sf \mathbb{N}$ .

Was ist eine Punktmenge?

Dieses Konzept von Mengen lässt sich auch auf die Kugel übertragen: Man muss die Kugel nicht nur wie oben als das im dreidimensionalen Raum definieren, was im zweidimensionalen Raum der Kreis ist. Stattdessen führt man die Punktmenge ein. Sie ist, wie der Name sagt, eine Menge, die aus Punkten besteht. In dieser Menge sind alle Punkte beinhaltet, die ein Element der Kugel sind.

Herleitung der Punktmenge

Sei also $\sf P = (a|b|c)$ ein Punkt. Dieser liegt auf der Kugeloberfläche. Somit ist sie ein Bestandteil der Kugel $\sf K$ . Man schreibt dafür: $\sf P \in K$ Wenn man nun alle Punkte $\sf P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots$ findet, die auf der Kugeloberfläche liegen, so fällt auf, dass diese Punkte vom Zentrum $\sf M$ der Kugel den gleichen Abstand $\sf r = \overline{PM}$ haben. Da $\sf P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots$ dieselbe Eigenschaft haben und eine Kugel bilden, bildet man aus diesen eine Menge. Besser gesagt stellt man die Kugel als eine Punktmenge dar.

Somit ist eine Kugel $\sf K$ mit dem Mittelpunkt $\sf M = (0|0|0)$ und dem Radius $\sf r$ ist definiert als

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Warum sieht die Menge so aus? $\sf -$ Betrachtung im Zweidimensionalen

Man betrachte ein rechtwinkliges Dreieck und lege es in einen Kreis.

Die Strecken $\sf a$ und $\sf b$ sind die Koordinaten des Punktes $\sf P = (a|b)$ . Die Strecke $\sf \overline{MP}$ hat dieselbe Länge wie der Radius $\sf r$ des Kreises, sodass $\sf r = \overline{MP}$ gilt.

Anhand von dem Satz des Pythagoras gilt

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

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Übergang zum Dreidimensionalen

Das Ganze stelle man sich nun im Dreidimensionalen vor. Da der Punkt $\sf P$ nun eine dritte Koordinate $\sf c$ hat, muss man den Satz des Pythagoras um eine Dimension erweitern, sodass gilt

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

So kann man mit der neuen Erweiterung die Punktmenge definieren:

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\displaystyle \sf V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

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CC BY-SA 4.0. → Was bedeutet das?

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Kugel

Kreis →\sf \qquad \qquad \rightarrow→

Kugel

Mittelpunkt M\sf MM

Radius r\sf rr

Dimension

Zusammenfassung

Formelsammlung

Volumen

Beispiel

Oberflächeninhalt

Beispiel

Kugelumfang

Beispiel

Exkursion: Kugel als Punktmenge

Was ist eine Punktmenge?

Herleitung der Punktmenge

Warum sieht die Menge so aus? −\sf -− Betrachtung im Zweidimensionalen

Übergang zum Dreidimensionalen

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Kreis $\sf \qquad \qquad \rightarrow$

Mittelpunkt $\sf M$

Radius $\sf r$

Warum sieht die Menge so aus? $\sf -$ Betrachtung im Zweidimensionalen