Kugel

Eine Kugel ist im dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist.

Jede Kugel hat einen Mittelpunkt $M$ . Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben den gleichen Abstand zu $M$ . Dieser Abstand $r$ heißt Radius.

Vergleich von Kreis und Kugel

	Kreis	Kugel
Mittelpunkt $M$	denselben Abstand von Kreislinie zum Mittelpunkt $M=(x\mid y)$	denselben Abstand von Kugeloberfläche zum Zentrum $M = (x\mid y\mid z)$
Radius $r$	Strecke $r$ zwischen einem Punkt $P$ auf der Kreislinie zu $M$ ; $r=\overline{PM}$	Strecke $r$ zwischen einem Punkt $P$ auf der Kugeloberfläche zu $M$ ; $r = \overline{PM}$
Dimension	Ein Kreis befindet sich auf einer Ebene.	Eine Kugel befindet sich in einem Raum.
Zusammenfassung	Bei einem Kreis haben alle Punkte auf einer Ebene denselben Abstand $r$ zum Mittelpunkt $M$ .	Bei einer Kugel haben alle Punkte in einem Raum denselben Abstand $r$ zum Zentrum $M$ .

Formelsammlung

Volumen	$V_{\text{Kugel}}=\frac43 \cdot \pi \cdot r^3$
Oberflächeninhalt	$O_{\text{Kugel}}=4\cdot\pi \cdot r^2$
Umfang	$U_\text{Kugel}=2\cdot \pi \cdot r$

Volumen

Wenn man wissen möchte, wie viel Rauminhalt eine Kugel hat, so muss man das Volumen berechnen.

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Beispiel

Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser $d$ von $57{,}2 \; \mathrm{mm}$ hat.

Bevor du deinen gegebenen Wert sofort in die neue Formel einsetzt, musst du dir klarmachen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hinsichtlich Radius und Durchmesser nicht unterscheiden.

$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{d}{2}$
	↓	Setze den gegebenen Wert ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{57{,}2\text{mm}\ }{2}$
	$=$	$\displaystyle 28{,}6\ \text{mm}\$

Nun kannst du den ausgerechneten Wert in die Volumenformel einsetzen.

$\displaystyle V_{\text{Billardkugel}\ }$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
	↓	Setze $r$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(28{,}6\ \text{mm}\right)^3$
	↓	Rechne aus und forme ggf. deine Einheit in eine Größere um.
	$≈$	$\displaystyle 97\,991\, \text{mm}^3$
	$≈$	$\displaystyle 98\,000 \,\text{mm}^3$
	$≈$	$\displaystyle 98 \,\text {cm}^3$

Die Billardkugel hat also ein Volumen von $98{,}0 \; \mathrm{cm}^3$ .

Oberflächeninhalt

Vereinfacht kann man sich eine Oberfläche wie einen Mantel vorstellen, der sich um die geometrische Figur legt. Eine Zeitungsseite kann so zu einem Kegel geformt werden, wenn man sie rollt. Diese Fläche ergibt die Oberfläche.

Wenn man nun die Kugel in Farbe eintaucht, so markiert man dessen Oberflächeninhalt. Mithilfe dieser Fläche kann man z. B. ausrechnen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dachspitze vom Olympiaturm vergolden kann.

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Beispiel

Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von $(576 \cdot \pi )\; \mathrm{cm}^2$ . Wie groß ist dann der Radius $r$ ?

$\displaystyle O_{\text{Basketball}\ }$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\pi\cdot r^2$	$\displaystyle :4\pi$
	↓	Stelle zunächst nach dem Wert $r^2$ um.
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{O_{\text{Basketball}\ }}{4\pi}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe anschließend die Wurzel. Da $r$ nur positiv sein kann als Länge, kannst du das negative Ergebnis des Wurzelziehens vernachlässigen.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{O_{\text{Basketball}\ }}{4\pi}}$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{576 \pi \; \mathrm{cm}^2}{4 \cdot \pi}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{576 \; \mathrm{cm}^2}{4}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{144\; \mathrm{cm}^2}$
	$=$	$\displaystyle 12 \; \mathrm{cm}$

Der Radius eines Basketballs ist also $12 \; \mathrm{cm}$ .

Kugelumfang

Der Kugelumfang ist der Umfang an der breitesten Stelle der Kugel. Diese entspricht einem Kreis. Man legt sozusagen ein Maßband um die geometrische Figur und misst die Breite.

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Beispiel

Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit dem Radius $r = 2 \; \mathrm{cm}$ ?

$\displaystyle U_{\text{Eiskugel}\ }$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot\ r$
	↓	Setze den Wert $r$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot2\text{cm}\$
	$≈$	$\displaystyle 12{,}57\ \text{cm}\$

Eine Eiskugel hat etwa den Umfang von $12{,}57 \; \mathrm{cm}$ .

Kugeln in der analytischen Geometrie

Mehr zu diesem Thema findest du im Artikel "Kugeln in der analytischen Geometrie".

Kugel als Punktmenge

Die Kugel kannst du dir als eine Sammlung ganz ganz vieler Punkte vorstellen. wenn du jeden Punkt auf der Kugel angibst, ergibt sich daraus eine Menge. Diese heißt Punktmenge.

Alle Punkte der Kugel

Gegeben ist ein Punkt $P$ mit den Koordinaten $P(a|b|c)$ . Dieser liegt auf der Kugeloberfläche. Somit ist der Punkt ein Bestandteil der Kugel $K$ . Man schreibt dafür: $P \in K$ .

Wenn man nun alle Punkte $P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots$ findet, die auf der Kugeloberfläche liegen, so fällt auf, dass diese Punkte vom Zentrum $M$ der Kugel den gleichen Abstand $r = \overline{PM}$ haben.

Da $P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots$ dieselbe Eigenschaft haben und eine Kugel bilden, bildet man aus diesen eine Menge. Besser gesagt, stellt man die Kugel als eine Punktmenge dar.

Die Punktmenge der Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M(0|0|0)$ und dem Radius $r$ sieht so aus:

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Wie komme ich auf die Punktmenge

Betrachtung im Zweidimensionalen

Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck und zeichne einen Kreis um das Dreieck wie im Bild.

Die Länge der Katheten sind $a$ und $b$ Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(a|b)$ . Die Strecke $\overline{MP}$ hat dieselbe Länge wie der Radius $r$ des Kreises, also $r = \overline{MP}$ .

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Übergang zum Dreidimensionalen

Das Ganze stelle man sich nun im Dreidimensionalen vor. Da der Punkt $P$ nun eine dritte Koordinate $c$ hat, muss man den Satz des Pythagoras um eine Dimension erweitern, sodass gilt

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

So kann man mit der neuen Erweiterung die Punktmenge definieren:

\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

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