Kugel

Eine Kugel ist im dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist.

Jede Kugel hat einen Mittelpunkt MM. Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben den gleichen Abstand zu MM. Dieser Abstand rr heißt Radius.

Vergleich von Kreis und Kugel

Kreis

Kugel

Mittelpunkt MM

denselben Abstand von Kreislinie zum Mittelpunkt M=(xy)M=(x\mid y)

denselben Abstand von Kugeloberfläche zum Zentrum M=(xyz)M = (x\mid y\mid z)

Radius rr

Strecke rr zwischen einem Punkt PP auf der Kreislinie zu MM; r=PMr=\overline{PM}

Strecke rr zwischen einem Punkt PP auf der Kugeloberfläche zu MM; r=PMr = \overline{PM}

Dimension

Ein Kreis befindet sich auf einer Ebene.

Eine Kugel befindet sich in einem Raum.

Zusammenfassung

Bei einem Kreis haben alle Punkte auf einer Ebene denselben Abstand rr zum Mittelpunkt MM.

Bei einer Kugel haben alle Punkte in einem Raum denselben Abstand rr zum Zentrum MM.

Formelsammlung

Volumen

Oberflächeninhalt

Umfang

Volumen

Wenn man wissen möchte, wie viel Rauminhalt eine Kugel hat, so muss man das Volumen berechnen.

Beispiel

Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser dd von 57,2  mm57{,}2 \; \mathrm{mm} hat.

Bevor du deinen gegebenen Wert sofort in die neue Formel einzusetzt, musst du dir klar machen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hinsichtlich Radius und Durchmesser nicht unterscheiden.

r\displaystyle r==d2\displaystyle \frac{d}{2}

Setze den gegebenen Wert ein.

==57,2mm 2\displaystyle \frac{57{,}2\text{mm}\ }{2}
==26,6 mm \displaystyle 26{,}6\ \text{mm}\

Nun kannst du den ausgerechneten Wert in die Volumenformel einsetzen.

VBillardkugel \displaystyle V_{\text{Billardkugel}\ }==43πr3\displaystyle \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3

Setze rr ein.

==43π(28,6 mm)3\displaystyle \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\left(28{,}6\ \text{mm}\right)^3

Rechne aus und forme ggf. deine Einheit in eine Größere um.

97991mm3\displaystyle 97\,991\, \text{mm}^3
98000mm3\displaystyle 98\,000 \,\text{mm}^3
98cm3\displaystyle 98 \,\text {cm}^3

Die Billardkugel hat also ein Volumen von 98,0  cm398{,}0 \; \mathrm{cm}^3.

Oberflächeninhalt

Vereinfacht kann man sich eine Oberfläche wie einen Mantel vorstellen, der sich um die geometrische Figur legt. Eine Zeitungsseite kann so zu einem Kegel geformt werden, wenn man sie rollt. Diese Fläche ergibt die Oberfläche.

Wenn man nun die Kugel in Farbe eintaucht, so markiert man dessen Oberflächeninhalt. Mit Hilfe dieser Fläche kann man z. B. ausrechnen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dachspitze vom Olympiaturm vergolden kann.

Beispiel

Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von (576π)  cm2(576 \cdot \pi )\; \mathrm{cm}^2. Was ist dann der Radius rr?

OBasketball \displaystyle O_{\text{Basketball}\ }==4πr2\displaystyle 4\cdot\pi\cdot r^2:4π\displaystyle :4\pi

Stelle zunächst nach dem Wert r2r^2 um.

r2\displaystyle r^2==OBasketball 4π\displaystyle \frac{O_{\text{Basketball}\ }}{4\pi}\displaystyle \sqrt{ }

Ziehe anschließend die Wurzel. Da rr nur positiv sein kann als Länge, kannst du das negative Ergebnis des Wurzelziehens vernachlässigen.

r\displaystyle r==OBasketball 4π\displaystyle \sqrt{\frac{O_{\text{Basketball}\ }}{4\pi}}

Setze die gegebenen Werte ein.

r\displaystyle r==576π  cm24π\displaystyle \sqrt{\frac{576 \pi \; \mathrm{cm}^2}{4 \cdot \pi}}
==576  cm24\displaystyle \sqrt{\frac{576 \; \mathrm{cm}^2}{4}}
==144  cm2\displaystyle \sqrt{144\; \mathrm{cm}^2}
==12  cm\displaystyle 12 \; \mathrm{cm}

Der Radius eines Basketballs ist also 12  cm12 \; \mathrm{cm}.

Kugelumfang

Der Kugelumfang ist der Umfang an der breitesten Stelle der Kugel. Diese entspricht einem Kreis. Man legt sozusagen ein Maßband um die geometrische Figur und misst die Breite.

Beispiel

Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit dem Radius r=2  cmr = 2 \; \mathrm{cm}?

UEiskugel \displaystyle U_{\text{Eiskugel}\ }==2π r\displaystyle 2\cdot\pi\cdot\ r

Setze den Wert rr ein.

==2π2cm \displaystyle 2\cdot\pi\cdot2\text{cm}\
12,56 cm \displaystyle 12{,}56\ \text{cm}\

Eine Eiskugel hat etwa den Umfang von 12,56  cm12{,}56 \; \mathrm{cm}.

Kugeln in der analytischen Geometrie

Mehr zu diesem Thema findest du im Artikel "Kugeln in der analytischen Geometrie".

Kugel als Punktmenge

Die Kugel kannst du dir als eine Sammlung ganz ganz vieler Punkte vorstellen. wenn du jeden Punkt auf der Kugel angibst, ergibt sich daraus eine Menge. Diese heißt Punktmenge.

Alle Punkte der Kugel

Gegeben ist ein Punkt PP mit den Koordinaten P(abc)P(a|b|c). Dieser liegt auf der Kugeloberfläche. Somit ist der Punkt ein Bestandteil der Kugel KK. Man schreibt dafür: PKP \in K.

Wenn man nun alle Punkte P1,  P2,  P3,  P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots findet, die auf der Kugeloberfläche liegen, so fällt auf, dass diese Punkte vom Zentrum MM der Kugel den gleichen Abstand r=PMr = \overline{PM} haben.

Da P1,  P2,  P3,  P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots dieselbe Eigenschaft haben und eine Kugel bilden, bildet man aus diesen eine Menge. Besser gesagt stellt man die Kugel als eine Punktmenge dar.

Die Punktmenge der Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(000)M(0|0|0) und dem Radius rr sieht so aus:

Wie komme ich auf die Punktmenge

Betrachtung im Zweidimensionalen

Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck und zeichne einen Kreis um das Dreieck wie im Bild.

Die Länge der Katheten sind aa und bb Der Punkt PP hat die Koordinaten P(ab)P(a|b). Die Strecke MP\overline{MP} hat dieselbe Länge wie der Radius rr des Kreises, alsor=MPr = \overline{MP}.

Anhand von dem Satz des Pythagoras gilt

Übergang zum Dreidimensionalen

Das Ganze stelle man sich nun im Dreidimensionalen vor. Da der Punkt PP nun eine dritte Koordinate cc hat, muss man den Satz des Pythagoras um eine Dimension erweitern, sodass gilt

So kann man mit der neuen Erweiterung die Punktmenge definieren:


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0.Was bedeutet das?