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Abstand zweier Punkte berechnen

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Zwei verschiedene Punkte spannen eine Distanz auf, welche sowohl im Zweidimensionalen als auch im Dreidimensionalen berechnet werden kann.

Die Formeln zur Berechnung des Abstandes basieren auf dem Satz des Pythagoras.

Im Zweidimensionalen

 Für 22 Punkte P1(x1y1)P_1\left(x_1\vert y_1\right), P2(x2y2)P_2\left(x_2\vert y_2\right) kann man den Abstand dd (distance) folgendermaßen berechnen:

Im Dreidimensionalen

Analog zur Formel im zweidimensionalen Raum kann man den Abstand dd (distance) zweier Punkte P1(x1y1z1),  P2(x2y2z2)P_1\left(x_1\vert y_1\vert z_1\right),\;P_2\left(x_2\vert y_2\vert z_2\right) im dreidimensionalen Raum folgendermaßen berechnen:

Vorgehen am Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1024.xml

Gegeben sind die beiden Punkte P(63)P(6|3) und Q(12)Q(1|2), deren Abstand ermittelt werden soll.

Dazu wird ein rechtwinkliges Dreieck gebildet mit …

  • der Strecke zwischen den Punkten als Hypotenuse,

  • der Differenz der x-Werte (61=5)\left(6-1=5\right) als erste Kathete,

  • und der Differenz der y-Werte (32=1)\left(3-2=1\right) als zweite Kathete.

Der Abstand der Punkte (die Hypotenuse dd) kann nun mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

d2\displaystyle d^2==(61)2+(32)2\displaystyle (6-1)^2+(3-2)^2
==52+12\displaystyle 5^2+1^2
==26\displaystyle 26\displaystyle \sqrt{}
d\displaystyle d5,099\displaystyle 5{,}099

\Longrightarrow Der Abstand der Punkte P und Q beträgt ungefähr 5,0995{,}099.

Spezialfall: Die Punkte liegen aufeinander 

Gegeben sind zwei aufeinanderliegende Punkte PP und PP' mit identischen Koordinaten  P  (xy)  =P(xy)P\;(x\vert y)\;=P'(x|y)

Der Abstand zwischen PP und PP' berechnet sich mit der Formel

.

Setzt man nun die Koordinaten ein, so erhält man wegen  x1=x2=xx_1=x_2=x und  y1=y2=yy_1=y_2=y für den Abstand dd:

.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Abstand


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