Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her:

Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

Vorsicht

Die Formel $a^2 + b^2 = c^2$ gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist!

Detaillierte Einführung

In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt.

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Erklärung	Darstellung/Gleichung
Wir starten mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck
und setzen uns daraus ein Quadrat zusammen
Dann können wir die Fläche A des großen Quadrates auf zwei verschiedene Arten ausdrücken (1)
(2)
Durch Gleichsetzen erhalten wir die Gleichung ...
... die man umformen kann zu

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten $a=4$ und $b=3$ eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechne die Hypotenuse $c$ .
	↓
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 4^2+3^2$
	↓	Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 16+9$
	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 5$

(Bemerkung: Die Lösung $c = -5$ scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.)

Vorgehen

Wenn man nach einer Kathete sucht, muss man diese Formel umstellen.

Die Kathete a lässt sich zum Beispiel berechnen mit $a=\sqrt{c^2-b^2}$

Video mit Beispielrechnungen

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Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit

Für jede positive Zahl $a$ beschreibt $a^2$ die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ . Genauso kann man sich $b^2$ und $c^2$ als Fläche von Quadraten vorstellen.

Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.

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In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.

Beispiele aus der Praxis

Berechnung von Streckenlängen in Gebäuden
Berechnungen an weiteren Figuren und Körpern
usw.

Als Hilfsmittel im Koordinatensystem

Berechnung des Abstandes zweier Punkte

Mathematische Spielereien

Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen $\sqrt{2}, \sqrt{3}, …$ )

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Übungsaufgaben

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