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Satz des Pythagoras

Pythagoras - Dreieck u Formel

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her:

Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

Vorsicht

Die Formel a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist!

Detaillierte Einführung

In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt.

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten a=4a=4 und b=3b=3 eines rechtwinkligen Dreiecks.

Berechne die Hypotenuse cc.

c2\displaystyle c^2==42+32\displaystyle 4^2+3^2

Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.

c2\displaystyle c^2==16+9\displaystyle 16+9
==25\displaystyle 25\displaystyle \sqrt{ }

Ziehe die Wurzel

c\displaystyle c==5\displaystyle 5

(Bemerkung: Die Lösung c=5c = -5 scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.)

Vorgehen

Wenn man nach einer Kathete sucht, muss man diese Formel umstellen.

Die Kathete a lässt sich zum Beispiel berechnen mit a=c2b2a=\sqrt{c^2-b^2}

Video mit Beispielrechnungen

Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit

Für jede positive Zahl aa beschreibt a2a^2 die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge aa. Genauso kann man sich b2b^2 und c2c^2 als Fläche von Quadraten vorstellen.

Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.

Beispiele aus der Praxis

  • Berechnung von Streckenlängen in Gebäuden

  • Berechnungen an weiteren Figuren und Körpern

  • usw.

Als Hilfsmittel im Koordinatensystem

Mathematische Spielereien

  • Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen 2,3,\sqrt{2}, \sqrt{3}, …)

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

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