Gegenseitige Lage von zwei Kugeln

Es wird die Lage zweier Kugeln $K_1$ und $K_2$ zueinander untersucht.

Dabei treten fünf Fälle auf:

• die Kugeln schneiden sich nicht (oberes linkes Bild)

• die Kugeln berühren sich in genau einem äußeren Punkt $B$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene (oberes mittleres Bild).

• die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (oberes rechtes Bild)

• die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt $B$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene (unteres linkes Bild).

• die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht (unteres rechtes Bild)

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel $K_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1$ und den Radius $r_1$.

Die Kugel $K_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2$ und den Radius $r_2$.

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte $M_1$ und $M_2$.

Nun sind fünf Fälle möglich:

• $d(M_1,M_2)>r_1+r_2$; die Kugeln schneiden sich nicht

• $d(M_1,M_2)=r_1+r_2$; die Kugeln berühren sich in genau einem Punkt $B$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

• $|r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2$; die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis

• $d(M_1,M_2)=|r_1-r_2|$; die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt $B$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

• $d(M_1,M_2)<|r_1-r_2|$; die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht

Beispiel 1

Die Kugel $K_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(8|0|0)$ und den Radius $r_1=3$.

Die Kugel $K_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=8$; $r_1+r_2=3+2=5$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=8>r_1+r_2=5$, d.h. die Kugeln schneiden sich nicht.

Beispiel 2

Die Kugel $K_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(5|0|0)$ und den Radius $r_1=3$.

Die Kugel $K_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=5$; $r_1+r_2=3+2=5$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=r_1+r_2=5$, d.h. die Kugeln berühren sich außen in genau einem Punkt $B$. Die Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene.

Siehe auch: Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Beispiel 3

Die Kugel $K_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(4|0|0)$ und den Radius $r_1=3$.

Die Kugel $K_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=4$; $r_1+r_2=3+2=5$; $|r_1-r_2|=|3-2|=1$

Hier gilt $|r_1-r_2|=1<d(M_1,M_2)=4<r_1+r_2=5$, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis.

Siehe auch: Zwei sich schneidende Kugeln

Beispiel 4

Die Kugel $K_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(1|0|0)$ und den Radius $r_1=3$.

Die Kugel $K_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=1$; $|r_1-r_2|=|3-2|=1$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=|r_1-r_2|=1$, d.h. die Kugeln liegen ineinander und berühren sich innen in einem Punkt $B$.

Siehe auch: Zwei Kugeln mit gemeinsamen inneren Berührpunkt

Beispiel 5

Die Kugel $K_1$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_1(0{,}5|0|0)$ und den Radius $r_1=3$.

Die Kugel $K_2$ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M_2(0|0|0)$ und den Radius $r_2=2$.

Berechne den Abstand der beiden Mittelpunkte und vergleiche mit der Summe der beiden Radien.

$d(M_1,M_2)=0{,}5$; $|r_1-r_2|=|3-2|=1$

Hier gilt $d(M_1,M_2)=0{,}5<|r_1-r_2|=1$, d.h. die Kugeln liegen ineinander und berühren sich nicht.