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Zwei sich schneidende Kugeln

Zwei sich schneidende Kugeln

Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die Kugeln in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt MM' und dem Radius rr'.

Der Schnittkreis liegt in der Ebene ESE_{S}.

Schnittbedingung:

r1r2<d(M1,M2)<r1+r2|r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2

Gesucht sind die Gleichung der Schnittebene ESE_S, MM' und rr' .

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel K1K_1​ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1M_1​ und den Radius r1r_1​.

Die Kugel K2K_2​ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2M_2​ und den Radius r2r_2​.

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte M1M_1​ und M2M_2​.

Berechne den Vektor M1M2\overrightarrow{M_1M_2} und dann seinen Betrag.

d(M1M2)=M1M2d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert

Vergleiche d(M1M2)d(M_1M_2) mit dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien und der Summe der beiden Kugelradien.

Wenn die Bedingung r1r2<d(M1,M2)<r1+r2|r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2 erfüllt ist, dann schneiden sich die beiden Kugeln in einem Schnittkreis.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle von beiden Kugeln die Vektorgleichung in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Koordinatengleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene ESE_S.

Berechnung des Mittelpunkt MM'

Zwei Kugeln mit Schnittebene

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLotg_{Lot} durch den Mittelpunkt M1M_1 auf die Ebene ESE_S.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1M_1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ESE_S:

gLot:  X=OM1+tnEg_{Lot}:\;\vec X=\overrightarrow{OM_1}+t\cdot\vec n_E

Berechne den Mittelpunkt MM', indem du die Lotgerade gLotg_{Lot} mit der Ebene ESE_S schneidest.

Berechnung des Schnittkreisradius rr'

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

(In der Abbildung ist nur die Kugel K1K_1 dargestellt.)

Den Schnittkreisradius rr' kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand dd der Ebene ESE_S vom Mittelpunkt M1M_1 ist der Betrag des Vektors M1M\overrightarrow{M_1M'} und der Kugelradius von K1K_1 ist rr.

Es gilt dann: r=r2d2r'=\sqrt{r^2-d^2}

Beispiel

Gegeben sind die Kugeln K1:(x(400))2=9K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2=9 und K2:(x(132))2=16K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2=16

Zeige, dass die beiden Kugeln sich schneiden und gib die Gleichung der Schnittebene ESE_S, den Mittelpunkt MM' des Schnittkreises und den Schnittkreisradius rr' an.

Lagebeziehung der beiden Kugeln

Gegeben sind die beiden Kugelradien: r1=9=3r_1=\sqrt{9}=3 und r2=16=4r_2=\sqrt{16}=4

Berechne:

  1. r1r2=34=1=1|r_1-r_2|=|3-4|=|-1|=1

  2. d(M1M2)=M1M2d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert

  3. r1+r2=3+4=7r_1+r_2=3+4=7

Zu 2. Berechne den Vektor M1M2=(132)(400)=(532)\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\3 \\ -2 \end{pmatrix}​

Berechne d(M1M2)=M1M2=(5)2+32+(2)2=386,d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{(-5)^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{38}\approx6{,}2

Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:

r1r2<d(M1M2)<r1+r2        1<6,2<7|r_1-r_2|<d(M_1M_2)<r_1+r_2\;\;\Rightarrow\;\;1<6{,}2<7

Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle die Kugelgleichung K1K_1 in eine Koordinatengleichung um:

K1:(x(400))2\displaystyle K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2==9\displaystyle 9
((x1x2x3)(400))2\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2==9\displaystyle 9
(x14x2x3)2\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-4\\x_2\\x_3\end{pmatrix}^2==9\displaystyle 9

Rechne das Skalarprodukt aus.

(x14)2+x22+x32\displaystyle (x_1-4)^2+x_2^2+x_3^2==9\displaystyle 9

Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

x128x1+16+x22+x32\displaystyle x_1^2-8x_1+16+x_2^2+x_3^2==9\displaystyle 916\displaystyle -16

Vereinfache

x12+x22+x328x1\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1==7\displaystyle -7

Die Kugel K1K_1 hat die Koordinatengleichung: x12+x22+x328x1=7x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1=-7

Wandle die Kugelgleichung K2K_2 in eine Koordinatengleichung um:

K2:(x(132))2\displaystyle K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2==16\displaystyle 16
((x1x2x3)(132))2\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2==16\displaystyle 16
(x1+1x23x3+2)2\displaystyle \begin{pmatrix}x_1+1\\x_2-3\\x_3+2\end{pmatrix}^2==16\displaystyle 16

Rechne das Skalarprodukt aus.

(x1+1)2+(x23)2+(x3+2)2\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2-3)^2+(x_3+2)^2==16\displaystyle 16

Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

x12+2x1+1+x226x2+9+x32+4x3+4\displaystyle x_1^2+2x_1+1+x_2^2-6x_2+9+x_3^2+4x_3+4==16\displaystyle 16

Fasse zusammen.

x12+x22+x32+2x16x2+4x3+14\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3+14==16\displaystyle 1614\displaystyle -14

Vereinfache

x12+x22+x32+2x16x2+4x3\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3==2\displaystyle 2

Die Kugel K2K_2 hat die Koordinatengleichung: x12+x22+x32+2x16x2+4x3=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3=2

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Die Kugel 11 ist Gleichung (I)\mathrm{(I)} und die Kugel 22 ist Gleichung (II)\mathrm{(II)}. Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.

Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.

(I):x12+x22+x328x1+0x2+0x3=7(II):x12+x22+x32+2x16x2+4x3=       2                                  0      +        0      +        0          10x1      +      6x2          4x3        =    9\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &-&8x_1&+&0x_2&+&0x_3& = & -7 & \\-\mathrm{(II)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &+&2x_1&-&6x_2&+&4x_3& = &\ \;\;\;2 &\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;\;-\;10x_1\;\;\;+\;\;\;6x_2\;\;-\;\;\;4x_3\;\;\;\;=\;\;-9}

Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet ES:  10x1+6x24x3=9 E_S:\; -10x_1+6x_2-4x_3=-9.

Berechnung des Mittelpunkt MM'

Zwei Kugeln mit Schnittebene

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLotg_{Lot} durch den Mittelpunkt M1M_1 auf die Ebene ESE_S.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1M_1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ESE_S:

nE=(1064)\vec n_E=\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}

gLot:  X=(400)+t(1064)g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}oder

gLot:  X=(x1x2x3)=(410t6t4t)g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix} \textcolor{006400}{x_1}\\\textcolor{ff6600}{x_2}\\\textcolor{660099}{x_3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \textcolor{006400}{4-10t}\\\textcolor{ff6600}{6t}\\\textcolor{660099}{-4t}\end{pmatrix}

Berechne den Mittelpunkt MM', indem du die Lotgerade gLotg_{Lot} mit der Ebene ESE_S schneidest:

E:  10x1+6x24x3\displaystyle E:\; -10\textcolor{006400}{x_1}+6\textcolor{ff6600}{x_2}-4\textcolor{660099}{x_3}==9\displaystyle -9

Setze 410t\textcolor{006400}{4-10t} , 6t\textcolor{ff6600}{6t} und 4t\textcolor{660099}{-4t} ein.

10(410t)+66t4(4t)\displaystyle -10\cdot\textcolor{006400}{(4-10t)}+6\cdot\textcolor{ff6600}{6t}-4\cdot\textcolor{660099}{(-4t)}==9\displaystyle -9

Löse die Klammern auf.

40+100t+36t+16t\displaystyle -40+100t+36t+16t==9\displaystyle -9

Vereinfache.

152t40\displaystyle 152t-40==9\displaystyle -9+40\displaystyle +40

Löse nach tt auf.

152t\displaystyle 152t==31\displaystyle 31
t\displaystyle t==31152\displaystyle \dfrac{31}{152}

Zur Berechnung des Schnittpunktes M M' setzt du t=31152t=\dfrac{31}{152} in die Gleichung der Lotgeraden ein.

XM=(400)+31152(1064)=(43101520+1861520124152)=(1497693766276)\vec X_{M'}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+\dfrac{31}{152}\cdot\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-\dfrac{310}{152}\\[2ex]0+\dfrac{186}{152}\\[2ex]0-\dfrac{124}{152}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{149}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}

Antwort: Der Mittelpunkt MM' hat die Koordinaten M(1497693766276)M'\left(\dfrac{149}{76}\Big\vert\dfrac{93}{76}\Big\vert-\dfrac{62}{76}\right).

Berechnung des Schnittkreisradius rr'

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Den Schnittkreisradius rr' kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand dd der Ebene ESE_S vom Mittelpunkt M1M_1 ist der Betrag des Vektors M1M\overrightarrow{M_1M'} und der Kugelradius von K1K_1 ist r=3r=3. Es gilt: r=r2d2r'=\sqrt{r^2-d^2}

Berechne zuerst den Vektor M1M\overrightarrow{M_1M'} und dann dessen Betrag.

M1M=(1497693766276)(400)=(1557693766276)\overrightarrow{M_1M'}=\begin{pmatrix}\dfrac{149}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\[2ex]0\\[2ex]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{155}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}

d=M1M=(15576)2+(9376)2+(6276)2=9611522,51d=\Big\vert\overrightarrow{M_1M'}\Big\vert=\sqrt{\left(-\dfrac{155}{76}\right)^2+\left(\dfrac{93}{76}\right)^2+\left(-\dfrac{62}{76}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{961}{152}}\approx2{,}51

r\displaystyle r'==r2d2\displaystyle \sqrt{r^2-d^2}

Setze r=3r=3 und d=961152d=\sqrt{\dfrac{961}{152}} ein.

==32(961152)2\displaystyle \sqrt{3^2-\left(\sqrt{\dfrac{961}{152}}\right)^2}

Vereinfache.

==9961152\displaystyle \sqrt{9-\dfrac{961}{152}}

Vereinfache.

==407152\displaystyle \sqrt{\dfrac{407}{152}}
1,64\displaystyle 1{,}64

Antwort: Der Radius rr' des Schnittkreises beträgt 4071521,64  LE\sqrt{\dfrac{407}{152}}\approx 1{,}64\; \text{LE}.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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