Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)

Den Abstand eines Punktes X zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt X auf die Gerade fällt. Der Schnittpunkt des Lotes und der Geraden bezeichnet man mit S. Die Länge der Strecke [SX][SX] ist somit genau der Abstand von Punkt XX und der Gerade.

Berechnung im 3-dimensionalen Fall

Gegeben sind der Punkt P(P1P2P3)P(P_1|P_2|P_3) und die Gerade g:x=a+λbg:\overset\rightharpoonup x = \overset\rightharpoonup a + \lambda \overset\rightharpoonup b

Formel zur Berechnung des Abstandes:

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes P(321)P(3|2|1) zu der Geraden g:x=(341)+λ(121)g:\overset\rightharpoonup{x}=\begin{pmatrix}-3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Man setzt die Werte in die Formel ein:

Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene

Gegeben sind der Punkt P(P1P2P3)P(P_1|P_2|P_3) und die Gerade g:x=a+λbg:\overset\rightharpoonup x = \overset\rightharpoonup a + \lambda \overset\rightharpoonup b

Folgende Schritte werden verwendet, um den Abstand zu bestimmen:

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt P(P1P2P3)P(P_1|P_2|P_3) geht und orthogonal zu dem Richtungsvektor b\overset\rightharpoonup{b} ist.

2. Schritt:

Wenn man die Ebene in Koordinatenform haben möchte, um die danach folgende Rechnung zu vereinfachen, wandelt man sie in diese um.

3. Schritt:

Nun bestimmt man den Schnittpunkt der Hilfsebene EE mit der Geraden gg. Das ist der Lot des Punktes PP auf der Geraden gg. Man fängt damit an, die beiden Gleichungen zu kombinieren, um λ\lambda auszurechnen.

4. Schritt:

λ\lambda setzt man jetzt in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor OS\overset\rightharpoonup{OS} des Schnittpunktes (des Lotes).

5. Schritt:

Zum Schluss berechnet man den Abstand der Punkte SS und PP.

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes PP von der Geraden gg mit einer Hilfsebene.

Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene EE, die durch den Punkt P(133)P(1|-3|-3) geht und die zu dem Richtungsvektor b=(131)\overset\rightharpoonup{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} orthogonal ist. Es gilt b=n\overset\rightharpoonup{b}=\overset\rightharpoonup{n}. Deswegen ist die Normalform geeignet.

2. Schritt:

Die Ebene E wandelt man in die Koordinatenform um.

3. Schritt:

In x1x_1, x2x_2 und x3x_3 kann man jetzt den Vektor x\overset\rightharpoonup{x} der Gerade einsetzen, um λ\lambda zu bestimmen.

4. Schritt:

Man setzt nun λ\lambda in die Gerade gg ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte P(133)P(1|-3|-3) und S(324)S(3|-2|-4).

Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene EE, die durch den Punkt P(133)P(1|-3|-3) geht und die zu dem Richtungsvektor b=(131)\overset\rightharpoonup{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} orthogonal ist. Es gilt b=n\overset\rightharpoonup{b}=\overset\rightharpoonup{n}. Deswegen ist die Normalform geeignet.

Man überspringt Schritt 2, weil schon die richtige Ebenenform gefunden ist.

3. Schritt:

Jetzt sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Hierfür setzt man x\overset\rightharpoonup{x} in die Ebene ein.

und löst auf.

4. Schritt:

Das setzt man in die Gerade gg ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte P(133)P(1|-3|-3) und S(324)S(3|-2|-4).

aBerechnung im Zweidimensionalen

Gegeben ist eine Gerade g:    x=:(ab)+λ(cd)\mathbf {g}\boldsymbol{:}\;\;\mathbf {x}\boldsymbol{=}\boldsymbol:\begin{pmatrix}\mathbf a\\\mathbf b\end{pmatrix}\boldsymbol+\mathbf\lambda\begin{pmatrix}\mathbf c\\\mathbf d\end{pmatrix} und eine Punkt P  =(ef)\mathbf P\;\boldsymbol=\begin{pmatrix}\mathbf e\\\mathbf f\end{pmatrix} . Dann lassen sich diese Objekte im Zweidimensionalen ins Dreidimensionale einbetten.

Dann schreibt man einfach für g:x=(ab0)+λ(cd0)g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}c\\d\\0\end{pmatrix} und P=(ef0)P=\begin{pmatrix}e\\f\\0\end{pmatrix} und rechnet wie im Dreidimensionalen, der Abstand (im Zweidimensionalen) ist dann der ausgerechnete Wert.


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