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Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)

Den Abstand eines Punktes X zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt X auf die Gerade fällt. Den Schnittpunkt des Lotes und der Geraden bezeichnet man mit S. Die Länge der Strecke [SX] ist somit genau der Abstand vom Punkt X und der Geraden.

Bild

Berechnung im 3-dimensionalen Fall

Gegeben sind der Punkt P(p1|p2|p3) und die Gerade g:X=a+λb

Formel zur Berechnung des Abstandes:

d=|(pa)×b||b|

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes P(3|2|1) von der Geraden g:X=(341)+λ(121)

Man setzt die Werte in die Formel ein:

d=|((321)(341))×(121)|(1)2+22+12

Berechne die Vektordifferenz und die Summe unter der Wurzel.

=|(622)×(121)|6

Berechne das Vektorprodukt.

=|(2426122)|6

Berechne den Betrag des Vektors.

=(6)2+(8)2+1026

Vereinfache den Zähler.

=2006

Vereinfache.

=103

Antwort: Der Abstand des Punktes P(3|2|1) zu der Geraden g beträgt d=103LE.

Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene

Gegeben sind der Punkt P(p1|p2|p3) und die Gerade g:X=a+λb

Folgende Schritte werden verwendet, um den Abstand zu bestimmen:

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt P(p1|p2|p3) geht und orthogonal zum Richtungsvektor b ist.

2. Schritt:

Wenn man die Ebene in Koordinatenform haben möchte, um die danach folgende Rechnung zu vereinfachen, wandelt man sie in diese um.

3. Schritt:

Nun bestimmt man den Schnittpunkt der Hilfsebene E mit der Geraden g. Das ist das Lot des Punktes P auf die Gerade g. Man fängt damit an, die beiden Gleichungen zu kombinieren, um λ auszurechnen.

4. Schritt:

λ setzt man jetzt in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor OS des Schnittpunktes (des Lotes).

5. Schritt:

Zum Schluss berechnet man den Abstand der Punkte S und P.

Beispiele

Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g mit einer Hilfsebene.

P(1|3|3);g:X=(213)+λ(131)

Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene E, die durch den Punkt P(1|3|3) geht und die zu dem Richtungsvektor b=(131) orthogonal ist.

Es gilt b=n. Deswegen ist die Normalform geeignet.

E:[x(133)](131)=0

2. Schritt:

Die Ebene E wandelt man in die Koordinatenform um.

[(x1x2x3)(133)](131)=0

(x11)+3(x2+3)+(x3+3)=0

x1+3x2+x3=13

3. Schritt:

In x1, x2 und x3 kann man jetzt den Vektor X der Geraden einsetzen, um λ zu bestimmen.

(2λ)+3(1+3λ)+(3+λ)=13

11λ=11

λ=1

4. Schritt:

Man setzt nun λ in die Geradengleichung g ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

OS=(213)+(1)(131)=(324)

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte P(1|3|3) und S(3|2|4).

d=(31)2+(2(3))2+(4(3))2

Vereinfache.

=22+12+(1)2

Vereinfache.

=6

Antwort: Der Abstand des Punktes P(1|3|3) von der Geraden g beträgt d=6LE.

Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene E, die durch den Punkt P(1|3|3) geht und die zu dem Richtungsvektor b=(131) orthogonal ist.

Es gilt b=n. Deswegen ist die Normalform geeignet.

E:[x(133)](131)=0

Man überspringt Schritt 2, weil schon die richtige Ebenenform gefunden ist.

3. Schritt:

Jetzt sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Hierfür setzt man X in die Ebene ein:

E:[(213)+(λ(1)λ3λ1)(133)](131)=0

Aufgelöst folgt:

1(2λ1)+3(1+3λ+3)3+λ+3=0

λ+9λ+λ1+12+0=0

λ=1111=1

4. Schritt:

λ=1 setzt man in die Geradengleichung g ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

O=(213)+(1)(131)=(324)

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte P(1|3|3) und S(3|2|4).

d=(31)2+(2(3))2+(4(3))2

Vereinfache.

=22+12+(1)2

Vereinfache.

=6

Antwort: Der Abstand des Punktes P(1|3|3) von der Geraden g beträgt d=6LE.

Lösungsweg 3 (Minimierung des Abstandes)

1. Schritt:

Man überlegt sich die allgemeine Form der Koordinaten von Punkten auf der Geraden.

g:X=(213)+λ(131)xg=2+λ(1)yg=1+λ3zg=3+λ1

2. Schritt:

Man berechnet den Abstand vom Punkt P(1|3|3) mit den im Schritt 1 ausgerechneten Punkten auf der Geraden. Hierfür benutzen wir die Formel zum Berechnen des Abstandes zweiter Punkte und setzen den Punkt P und die Punkte auf der Geraden mit λ ein.

d=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2d=((2+λ(1))1)2+((1+λ3)(3))2+((3+λ1)(3))2

3. Schritt:

Wir haben einen klobigen Ausdruck für den Abstand erhalten. Dieser Ausdruck ist immer noch von λ abhängig. Jedes λ beschreibt einen Punkt auf der Geraden g und jeder dieser Punkte hat einen eigenen Abstand.

Jetzt können wir vereinfachen, was unter der Wurzel steht.

d=((2+λ(1))1)2+((1+λ3)(3))2+((3+λ1)(3))2d=(2λ1)2+(1+λ3+3)2+(3+λ+3)2d=(1λ)2+(4+λ3)2+(λ)2d=(122λ+λ2)+(42+24(3λ)+(3λ)2)+λ2d=12λ+λ2+16+24λ+9λ2+λ2d=17+22λ+11λ2

4. Schritt:

Der Abstand der Geraden vom Punkt P ist gerade das Minimum dieser Funktion d(λ).

Da Abstände immer positiv sind, können wir auch das Minimum von d2 bestimmen und dann die Wurzel ziehen.

d=17+22λ+11λ2d2=17+22λ+11λ2

Wir erkennen die Form einer nach oben geöffneten Parabel und können die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwenden, um das Minimum von d2 (also die y-Koordinate des Scheitelpunktes) zu berechnen:

S(b2a|cb24a)

Die y-Koordinate ist:

y=cb24a

Lies aus der Parabelgleichung die Werte für a, b und c ab.

Setze a=11, b=22 und c=17 ein.

=17222411

Vereinfache den Bruch.

=1711

Vereinfache.

=6

Demnach ist dmin2=6 und dmin=6

Alternativ kann auch über das Ableiten das Extremum der Funktion vom Abstandsquadrat bestimmt werden.

d2=17+22λ+11λ2f(x)=11x2+22x+17f(x)=22x+22f(x)=0=>x=1f(1)=1122+17=6dmin2=6=>dmin=6

Berechnung im Zweidimensionalen

Gegeben ist eine Gerade 𝐠:𝐱=:(𝐚𝐛)+𝛌(𝐜𝐝) und ein Punkt 𝐏=(𝐞𝐟). Dann lassen sich diese Objekte im Zweidimensionalen ins Dreidimensionale einbetten.

Man schreibt einfach für g:x=(ab0)+λ(cd0) und P=(ef0) und rechnet wie im Dreidimensionalen, der Abstand (im Zweidimensionalen) ist dann der ausgerechnete Wert.

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