Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)

Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform

$\frac1{\left|\vec n\right|}\vec n\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]=0$  

oder

$\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}=0$

umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

$d(P;E)=\frac{1}{\left|\vec n\right|}\vec n \circ \left[ \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]$

oder

$d\left(P;E\right)=\frac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(2|2|3)$ von der Ebene E mit der Gleichung $E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+l\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$.

Der Abstand von $P$ zu $E$ beträgt also genau $3$ Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für $d(P;E)$ lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt $P$ liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

• $d(P;E)>0$: $P$ liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt

• $d(P;E)<0$: $P$ liegt auf der anderen Seite der Ebene