Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen zu können, verwendet man das Projektionsverfahren.
Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform
oder
umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.
Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:
oder
Vorgehen am Beispiel
Gesucht ist der Abstand des Punktes von der Ebene E mit der Gleichung .
1) Die Ebene liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunächst in Hessesche-Normalenform umgeformt werden.
oder
2) Einsetzen der Koordinaten von für ergibt den gesuchten Abstand von P zu E.
oder
Der Abstand von zu beträgt also genau Längeneinheiten.
Bedeutung der Betragsstriche
Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:
: liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt
: liegt auf der anderen Seite der Ebene
Übungsaufgaben: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)
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Aufgaben zum Abstand
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