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Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)

Um den Abstand d(P;E)d(P;E) eines PunktesP(p1p2p3)P\left(p_1\left|p_2\right|p_3\right) von einer Ebene EE berechnen zu können, verwendet man das Projektionsverfahren.

Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform

1nn[(x1x2x3)(a1a2a3)]=0\frac1{\left|\vec n\right|}\vec n\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]=0  

oder

n1x1+n2x2+n3x3+dn12+n22+n32=0\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}=0

umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

d(P;E)=1nn[(p1p2p3)(a1a2a3)]d(P;E)=\frac{1}{\left|\vec n\right|}\vec n \circ \left[ \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]

oder

d(P;E)=n1p1+n2p2+n3p3+dn12+n22+n32d\left(P;E\right)=\frac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes P(223)P(2|2|3) von der Ebene E mit der Gleichung E:x=(004)+k(102)+l(012)E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+l\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}.

1) Die Ebene EE liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunächst in Hessesche-Normalenform umgeformt werden.

13(221)[(x1x2x3)(004)]=0\frac13\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right]=0

oder 2x12x2+x343=0\frac{-2x_1-2x_2+x_3-4}{3}=0

2) Einsetzen der Koordinaten von p1,  p2  und  p3p_1,\;p_2\;\mathrm{und}\;p_3 für x1,  x2  und  x3x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3 ergibt den gesuchten Abstand von P zu E.

d(P;E)=13(221)[(223)(004)]                =13[2(20)2(20)+1(34)]                =3                =3\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}d(P;E)=\left|\frac13\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right]\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\left|\frac13\left[-2\left(2-0\right)-2\left(2-0\right)+1\left(3-4\right)\right]\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\left|-3\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;=3\end{array}

oder

d(P;E)=2(2)2(2)+343=3=3d\left(P;E\right)=\left|\frac{-2\left(2\right)-2\left(2\right)+3-4}{3}\right|=\left|-3\right|=3

Der Abstand von PP zu EE beträgt also genau 33 Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für d(P;E)d(P;E) lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt PP liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

  • d(P;E)>0d(P;E)>0: PP liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt

  • d(P;E)<0d(P;E)<0: PP liegt auf der anderen Seite der Ebene

Übungsaufgaben

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