Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)

Um den Abstand $d (P; E)$ eines Punktes $P (p_{1} | p_{2} | p_{3})$ von einer Ebene $E$ berechnen zu können, verwendet man das Projektionsverfahren.

Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform

$\frac{1}{| \vec{n} |} \vec{n} [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array})] = 0$

oder

$\frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} + d}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0$

umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

$d (P; E) = \frac{1}{| \vec{n} |} \vec{n} \circ [(\begin{array}{c} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array})]$

oder

$d (P; E) = \frac{n_{1} p_{1} + n_{2} p_{2} + n_{3} p_{3} + d}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}}$

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes $P (2 | 2 | 3)$ von der Ebene E mit der Gleichung $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + k (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + l (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ .

1) Die Ebene $E$ liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunächst in Hessesche-Normalenform umgeformt werden.

$\frac{1}{3} (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})] = 0$

oder $\frac{- 2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} - 4}{3} = 0$

2) Einsetzen der Koordinaten von $p_{1}, p_{2} und p_{3}$ für $x_{1}, x_{2} und x_{3}$ ergibt den gesuchten Abstand von P zu E.

$\begin{array}{l} d (P; E) = | \frac{1}{3} (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})] | \\ = | \frac{1}{3} [- 2 (2 - 0) - 2 (2 - 0) + 1 (3 - 4)] | \\ = | - 3 | \\ = 3 \end{array}$

oder

$d (P; E) = | \frac{- 2 (2) - 2 (2) + 3 - 4}{3} | = | - 3 | = 3$

Der Abstand von $P$ zu $E$ beträgt also genau $3$ Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für $d (P; E)$ lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt $P$ liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

$d (P; E) > 0$ : $P$ liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt
$d (P; E) < 0$ : $P$ liegt auf der anderen Seite der Ebene

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