Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)

Den Abstand eines Punktes $X$ zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt $X$ auf die Gerade fällt. Den Schnittpunkt des Lotes und der Geraden bezeichnet man mit $S$ . Die Länge der Strecke $[S X]$ ist somit genau der Abstand vom Punkt $X$ und der Geraden.

Berechnung im 3-dimensionalen Fall

Gegeben sind der Punkt $P (p_{1} ∣ p_{2} ∣ p_{3})$ und die Gerade $g:\vec X = \vec a + \lambda\cdot \vec b$

Formel zur Berechnung des Abstandes:

\displaystyle d= \frac{|(\vec p - \vec a )\times \vec b|}{|\vec b|}

Beispiel

Berechne den Abstand des Punktes $P (3 ∣ 2 ∣ 1)$ von der Geraden $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}-3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Man setzt die Werte in die Formel ein:

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\right)\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}}$
	↓	Berechne die Vektordifferenz und die Summe unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\|}{\sqrt6}$
	↓	Berechne das Vektorprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix} -2-4 \\ -2-6 \\ 12-2\end{pmatrix}\right\|}{\sqrt{6}}$
	↓	Berechne den Betrag des Vektors.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{(-6)^2+(-8)^2+10^2}}{\sqrt6}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{\sqrt3}$

Antwort: Der Abstand des Punktes $P (3 ∣ 2 ∣ 1)$ zu der Geraden $g$ beträgt $d=\dfrac{10}{\sqrt3}\;\text{LE}$ .

Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene

Gegeben sind der Punkt $P (p_{1} ∣ p_{2} ∣ p_{3})$ und die Gerade $g:\vec X = \vec a + \lambda\cdot \vec b$

Folgende Schritte werden verwendet, um den Abstand zu bestimmen:

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt $P (p_{1} ∣ p_{2} ∣ p_{3})$ geht und orthogonal zum Richtungsvektor $\vec{b}$ ist.

2. Schritt:

Wenn man die Ebene in Koordinatenform haben möchte, um die danach folgende Rechnung zu vereinfachen, wandelt man sie in diese um.

3. Schritt:

Nun bestimmt man den Schnittpunkt der Hilfsebene $E$ mit der Geraden $g$ . Das ist das Lot des Punktes $P$ auf die Gerade $g$ . Man fängt damit an, die beiden Gleichungen zu kombinieren, um $\lambda$ auszurechnen.

4. Schritt:

$\lambda$ setzt man jetzt in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor $\overrightarrow{OS}$ des Schnittpunktes (des Lotes).

5. Schritt:

Zum Schluss berechnet man den Abstand der Punkte $S$ und $P$ .

Beispiele

Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ mit einer Hilfsebene.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}P(1|-3|-3);\:g:\vec X=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\\\end{array}

Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene $E$ , die durch den Punkt $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ geht und die zu dem Richtungsvektor $\vec{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ orthogonal ist.

Es gilt $\vec{b}=\vec{n}$ . Deswegen ist die Normalform geeignet.

$E:\left[\overset\rightharpoonup x-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0$

2. Schritt:

Die Ebene $E$ wandelt man in die Koordinatenform um.

$\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0$

$\Rightarrow -(x_1-1)+3\cdot(x_2+3)+(x_3+3)=0$

$\Leftrightarrow -x_1+3x_2+x_3=-13$

3. Schritt:

In $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ kann man jetzt den Vektor $\vec{X}$ der Geraden einsetzen, um $\lambda$ zu bestimmen.

$-(2-\lambda)+3(1+3\lambda)+(-3+\lambda)=-13$

$\Leftrightarrow11\lambda=-11$

$\Leftrightarrow\lambda=-1$

4. Schritt:

Man setzt nun $\lambda$ in die Geradengleichung $g$ ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}$

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ und $S (3 ∣ - 2 ∣ - 4)$ .

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(3-1)^2+(-2-(-3))^2+(-4-(-3))^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{6}$

Antwort: Der Abstand des Punktes $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ von der Geraden $g$ beträgt $d=\sqrt{6}\;\text{LE}$ .

Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)

1. Schritt:

Man erstellt eine Hilfsebene $E$ , die durch den Punkt $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ geht und die zu dem Richtungsvektor $\vec{b}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ orthogonal ist.

Es gilt $\vec{b}=\vec{n}$ . Deswegen ist die Normalform geeignet.

$E:\left[\overset\rightharpoonup x-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0$

Man überspringt Schritt $2$ , weil schon die richtige Ebenenform gefunden ist.

3. Schritt:

Jetzt sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Hierfür setzt man $\vec{X}$ in die Ebene ein:

$E:\left[\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda\cdot(-1)\\\lambda\cdot3\\\lambda\cdot1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=0$

Aufgelöst folgt:

$\Rightarrow -1\cdot(2-\lambda-1)+3\cdot(1+3\lambda+3)-3+\lambda+3 = 0$

$\Leftrightarrow \lambda+9\lambda+\lambda-1+12+0=0$

$\Leftrightarrow \lambda=-\dfrac{11}{11}=-1$

4. Schritt:

$\lambda=-1$ setzt man in die Geradengleichung $g$ ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

$\overset\rightharpoonup{OS}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}$

5. Schritt:

Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ und $S (3 ∣ - 2 ∣ - 4)$ .

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(3-1)^2+(-2-(-3))^2+(-4-(-3))^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{6}$

Antwort: Der Abstand des Punktes $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ von der Geraden $g$ beträgt $d=\sqrt{6}\;\text{LE}$ .

Lösungsweg 3 (Minimierung des Abstandes)

1. Schritt:

Man überlegt sich die allgemeine Form der Koordinaten von Punkten auf der Geraden.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} g:\vec X=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} \newline x_g=2+\lambda \cdot (-1) \newline y_g=1+\lambda \cdot 3 \newline z_g=-3+\lambda \cdot 1 \\\end{array}

2. Schritt:

Man berechnet den Abstand vom Punkt $P (1 ∣ - 3 ∣ - 3)$ mit den im Schritt $1$ ausgerechneten Punkten auf der Geraden. Hierfür benutzen wir die Formel zum Berechnen des Abstandes zweiter Punkte und setzen den Punkt $P$ und die Punkte auf der Geraden mit $\lambda$ ein.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \newline d=\sqrt{((2+\lambda \cdot (-1) ) -1)^2+((1+\lambda \cdot 3)-(-3))^2+((-3+\lambda \cdot 1)-(-3))^2} \\\end{array}

3. Schritt:

Wir haben einen klobigen Ausdruck für den Abstand erhalten. Dieser Ausdruck ist immer noch von $\lambda$ abhängig. Jedes $\lambda$ beschreibt einen Punkt auf der Geraden $g$ und jeder dieser Punkte hat einen eigenen Abstand.

Jetzt können wir vereinfachen, was unter der Wurzel steht.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} d=\sqrt{((2+\lambda \cdot (-1) ) -1)^2+((1+\lambda \cdot 3)-(-3))^2+((-3+\lambda \cdot 1)-(-3))^2} \newline d=\sqrt{(2-\lambda -1)^2+(1+\lambda \cdot 3 +3)^2+(-3+\lambda+3)^2} \newline d=\sqrt{(1-\lambda)^2+(4+\lambda \cdot 3)^2+(\lambda )^2} \newline d=\sqrt{(1^2-2\cdot\lambda+\lambda^2)+(4^2+2\cdot4\cdot(3\cdot\lambda)+(3\cdot\lambda)^2)+\lambda ^2} \newline d=\sqrt{1-2\cdot\lambda+\lambda^2+16+24\cdot\lambda+9\cdot\lambda^2+\lambda ^2} \newline d=\sqrt{17+22\cdot\lambda+11\cdot\lambda^2} \\\end{array}

4. Schritt:

Der Abstand der Geraden vom Punkt $P$ ist gerade das Minimum dieser Funktion $d\left(\lambda\right)$ .

Da Abstände immer positiv sind, können wir auch das Minimum von $d^{2}$ bestimmen und dann die Wurzel ziehen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} d=\sqrt{17+22\cdot\lambda+11\cdot\lambda^2} \newline d^2=17+22\cdot\lambda+11\cdot\lambda^2 \\\end{array}

Wir erkennen die Form einer nach oben geöffneten Parabel und können die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwenden, um das Minimum von $d^{2}$ (also die y-Koordinate des Scheitelpunktes) zu berechnen:

\displaystyle S\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4 \cdot a}\right.\right)

Die y-Koordinate ist:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle c-\dfrac{b^2}{4 \cdot a}$
	↓	Lies aus der Parabelgleichung die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab. Setze $a = 11$ , $b = 22$ und $c = 17$ ein.
	$=$	$\displaystyle 17-\dfrac{22^2}{4\cdot11}$
	↓	Vereinfache den Bruch.
	$=$	$\displaystyle 17-11$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 6$

Demnach ist $d_{min}^2=6$ und $d_{min}=\sqrt{6}$

Alternativ kann auch über das Ableiten das Extremum der Funktion vom Abstandsquadrat bestimmt werden.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} d^2=17+22\cdot\lambda+11\cdot\lambda^2 \newline f(x)=11x^2+22x+17 \newline f'(x)=22x+22 \newline f'(x)=0 =>x=-1 \newline f(-1)=11-22+17=6 \newline d_{min}^2=6 => d_{min}=\sqrt{6} \\\end{array}

Berechnung im Zweidimensionalen

Gegeben ist eine Gerade $\mathbf {g}\boldsymbol{:}\;\;\mathbf {x}\boldsymbol{=}\boldsymbol:\begin{pmatrix}\mathbf a\\\mathbf b\end{pmatrix}\boldsymbol+\mathbf\lambda\begin{pmatrix}\mathbf c\\\mathbf d\end{pmatrix}$ und ein Punkt $\mathbf P\;\boldsymbol=\begin{pmatrix}\mathbf e\\\mathbf f\end{pmatrix}$ . Dann lassen sich diese Objekte im Zweidimensionalen ins Dreidimensionale einbetten.

Man schreibt einfach für $g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}c\\d\\0\end{pmatrix}$ und $P=\begin{pmatrix}e\\f\\0\end{pmatrix}$ und rechnet wie im Dreidimensionalen, der Abstand (im Zweidimensionalen) ist dann der ausgerechnete Wert.

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Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)

Berechnung im 3-dimensionalen Fall

Beispiel

Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene

Beispiele

Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)

1. Schritt:

2. Schritt:

3. Schritt:

4. Schritt:

5. Schritt:

Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)

1. Schritt:

3. Schritt:

4. Schritt:

5. Schritt:

Lösungsweg 3 (Minimierung des Abstandes)

1. Schritt:

2. Schritt:

3. Schritt:

4. Schritt:

Wir erkennen die Form einer nach oben geöffneten Parabel und können die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwenden, um das Minimum von d2d^2d2 (also die y-Koordinate des Scheitelpunktes) zu berechnen:

Alternativ kann auch über das Ableiten das Extremum der Funktion vom Abstandsquadrat bestimmt werden.

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Wir erkennen die Form einer nach oben geöffneten Parabel und können die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwenden, um das Minimum von $d^{2}$ (also die y-Koordinate des Scheitelpunktes) zu berechnen: