Eine Ebene ist ein Objekt der analytischen Geometrie im dreidimensionalen Raum. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.
Darstellungsformen
Ebenen kann man auf verschiedene Weisen darstellen. Hier wird auf die Parameterform, die Koordinatenform, die Normalenform und die Hessesche-Normalenform eingegangen.
Parameterform
Die Parameterform beschreibt die Ebene durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Jeder Punkt der Ebene wird durch einen Parameter s und t dargestellt.
Parameterform:
Bildquelle: Wikipedia
Koordinatenform
Die Koordinatenform stellt eine Ebene als lineare Gleichung dar. Jeder Punkt der Ebene erfüllt die lineare Gleichung.
Koordinatenform:
Normalenform (auch Normalform)
Um eine Ebene in der Normalenform auszudrücken, benötigt man den Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene und einen Normalvektor der Ebene. Jeder Punkt der Ebene erfüllt dann die Gleichung (mit ist hier das Skalarprodukt gemeint).
Normalenform:
Hessesche Normalenform
Die Hesse-Normalenform (oft mit bezeichnet) ist ein Spezialfall der Normalenform, bei der zusätzlich folgende Bedingungen für erfüllt sind:
, d. h. der Normalenvektor ist normiert
, d. h. der Normalenvektor zeigt vom Ursprung in Richtung der Ebene
wird dann oft als gekennzeichnet. ist dann der Abstand der Ebene vom Ursprung.
Hessesche Normalenform: oder
Bildquelle: Wikipedia
Umformungen
Spurpunkte-Spurgeraden
Als Spurpunkte einer Ebene bezeichnet man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, als Spurgeraden die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen. Die Spurgeraden erhält man auch als Verbindungsgeraden der Spurpunkte.
Koordinatenebenen
Die Koordinatenebenen sind die Ebenen, in denen jeweils eine Koordinate gleich null ist. Sie werden je von zwei Standardbasisvektoren aufgespannt:
x-y-Ebene
Parameterform:
Koordinatenform:
Hessesche Normalenform:
y-z-Ebene
Parameterform:
Koordinatenform:
Hessesche Normalenform:
x-z-Ebene
Parameterform:
Koordinatenform:
Hessesche Normalenform: