Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm O}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow O+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$

Den Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm O}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$  kann man auch weglassen.

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}20\\60\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}$

Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man  $10$  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}55\\90\\20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}$

Auch hier kann man  $5$  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm v}$  als ersten Richtungsvektor und  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\7\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm v}$  als ersten Richtungsvektor und  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm v}$  als ersten Richtungsvektor und  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  als

zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Berechne  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\13\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-16\\-10\end{pmatrix}$

Um einen einfacheren Vektor zu erhalten, kann man gegebenenfalls noch $-2$  ausklammern.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}2\\8\\5\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm v}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}8\\13\\9\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}2\\8\\5\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\10\\-7\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\5\\-23\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-17\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1{,}5\\-2\\8\end{pmatrix}$

Aus der Zeichnung kannst du zwei Punkt ablesen, die in der Ebene liegen:

$\mathrm A(1;\;0;\;0)$  

$\mathrm B(0;\;3;\;0)$

Der Vektor  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene $\mathrm E$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}$

Der zweite Richtungsvektor ist parallel zur  ${\mathrm x}_3-\mathrm{Achse}$. Wir können also als zweiten Richtungsvektor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$nehmen.

Wähle den Punkt  $\mathrm{A}$  oder  $\mathrm B$  als Aufpunkt und stelle die Gleichung der Ebene  $\mathrm E$  in Parameter auf.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

Lese die gegebenen Punkte ab:

$\mathrm A(2;\;0;\;0)$   ,   $\mathrm B(0;\;0;\;3)$

Der Vektor  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$   ist einer der Richtungsvektoren der Ebene $\mathrm E$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$

Der zweite Richtungsvektor  $\overrightarrow{\mathrm v}$  ist parallel zur  ${\mathrm x}_2-\mathrm{Achse}$  .

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt  $\mathrm A$  oder  $\mathrm B$  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  $\mathrm E$  auf.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Lese die gegebenen Punkte ab:

$\mathrm A(1;\;0;\;0)$   ,   $\mathrm B(0;\;3;\;0)$   ,   $\mathrm C(0;\;0;\;2)$

Der Vektor  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$   und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  sind die Richtungsvektoren der Ebene $\mathrm E$ .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow C-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Wähle einen der  Punkte  $\mathrm A$ ,  $\mathrm B$  oder $\mathrm C$  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung der Ebene  $\mathrm E$  auf.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Lese die gegebenen Punkte ab:

$\mathrm A(0;\;0;\;3)$

Einer der Richtungsvektoren der Ebene  $\mathrm E$  ist parallel zur  ${\mathrm x}_1-\mathrm{Achse}$ .

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm v}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

Der andere Richtungsvektor ist parallel zur  ${\mathrm x}_2-\mathrm{Achse}$ .

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$

Wähle den Punkt  $\mathrm A$  als Aufpunkt und Stelle die Gleichung Ebene  $\mathrm E$  auf.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$