Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm O}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung  $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow O+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$

Den Ortsvektor  $\overrightarrow{\mathrm O}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$  kann man auch weglassen.

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

Berechne zuerst die Richtungsvektoren  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}20\\60\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20\\-20\\10\end{pmatrix}$

Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man  $10$  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}55\\90\\20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\10\\20\end{pmatrix}$

Auch hier kann man  $5$  ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.

$\Rightarrow\;\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$

Wähle  $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$  als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm\lambda\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm\mu\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ein.

$\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}40\\80\\0\end{pmatrix}+\mathrm\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm\mu\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$