Schnittpunkt zweier Funktionen

Ein Schnittpunkt zweier Funktionen ist ein Punkt in der Ebene, in dem sich die beiden Funktionsgraphen schneiden, d.h. wenn man die x-Koordinate des Punktes in beide Funktionen einsetzt, erhält man bei beiden denselben Wert (nämlich die y-Koordinate des Punktes).

Im diesem Artikel wird die Art und Anzahl der Schnittpunkte erklärt. Für die genaue Vorgehensweise bei der  Bestimmung von Schnittpunkten siehe Artikel " Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ".

 

Informationen zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen findest du in dem Artikel " Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ".

Formale Definition

Ein Punkt (a,b)(a,b) ist ein Schnittpunkt von zwei Funktionen f(x)f(x) und g(x)g(x), wenn

   

Die maximale Anzahl an Schnittpunkten

Eine kurze Übersicht über Funktionen, bei denen man zumindest weiß, wie viele Schnittpunkte es maximal gibt, auch wenn man sie dann noch nicht unbedingt bestimmen kann.

 

Zwei Geraden

Zur Erinnerung: Der Funktionsterm einer Gerade hat die Form

wobei m und t jeweils Konstanten sind. m ist dabei die Steigung der Gerade und t die Verschiebung in der y-Richtung, oder der y-Achsenabschnitt.

 

Es gibt 3 Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei zwei Geraden:

  1. Sie schneiden sich nicht, d.h. sie sind  echt parallel zueinander.

  2. Sie schneiden sich in genau einem Punkt.

  3. Sie schneiden sich in unendlich vielen Punkten, d.h. sie sind identisch.

   

keine Schnittpunkte

ein Schnittpunkt

unendlich viele Schnittpunkte

Parabel und Gerade

Eine Parabel hat mit einer Gerade höchstens 2 Schnittpunkte.

kein Schnittpunkt

ein Schnittpunkt

zwei Schnittpunkte

Die Anzahl an Schnittpunkte kann man in dem Fall mit Hilfe der Diskriminante erkennen. Dazu geht man wie folgt vor:

  1. Funktionsterme gleichsetzen

  2. Auf eine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c=0\mathrm{ax}²+\mathrm{bx}+\mathrm c=0 bringen

  3. Diskriminante D=b24ac\boldsymbol D\boldsymbol=\boldsymbol b^\mathbf2\boldsymbol-\mathbf4\boldsymbol a\boldsymbol c berechnen:

  • Falls D<0\boldsymbol D\boldsymbol<\mathbf0 ist, dann gibt es keinen Schnittpunkt.

  • Falls D=0\boldsymbol D\boldsymbol=\mathbf0 ist, dann gibt es genau einen Schnittpunkt.

  • Falls D>0\boldsymbol D\boldsymbol>\mathbf0 ist, dann gibt es zwei Schnittpunkte.

   

Polynomfunktion und Gerade

 

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte von einer Polynomfunktion mit einer Gerade entspricht dem Grad des Polynoms.

So hat ein Polynom dritten Grades höchstens 3 Schnittpunkte mit einer Gerade, kann aber auch weniger Schnittpunkte haben.

Ein Polynom ungeraden Grades größer oder gleich 3 besitzt mit jeder Gerade mindestens einen Schnittpunkt.

Beispiel: Polynom vierten Grades

kein Schnittpunkt

ein Schnittpunkt

zwei Schnittpunkte

drei Schnittpunkte

vier Schnittpunkte

Beliebige Funktionen

Im Allgemeinen gibt es keine Höchstgrenze für die Anzahl der Schnittpunkte, auch wenn die Funktionen nicht identisch sind. Die zwei periodischen Funktionen Sinus und Kosinus zum Beispiel besitzen unendlich viele Schnittpunkte.

Video zur Berechnung von Schnittpunkten

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Bestimmung von Schnittpunkten  Artikel zum Thema

Die Bestimmung von Schnittpunkten besteht aus drei Schritte:

  1. Funktionsterme gleichsetzen

  2. Gleichung nach x auflösen

  3. Die Lösung der Gleichung in eine der Funktionsterme einsetzen.

Die Vorgehensweise genauer und Beispiele befinden sich im Artikel Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen .


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