Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnest du ähnlich wie die Schnittpunkte zweier Funktionen. Nur setzt du hier nicht zwei Funktionen gleich, sondern setzt eine der Variablen in der Funktion gleich 00, also entweder x=0x=0 oder y=0y=0.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Wenn die Funktion f(x)f\left(x\right) die xx-Achse schneidet, ist der yy-Wert an diesen Stellen gleich Null. Die Schnittpunkte von ff mit der xx-Achse entsprechen also den Nullstellen von ff.

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der xx-Achse sind dann allgemein: S(x0)S\left(x|0\right).

Um die Schnittpunkte einer Funktion f(x)f\left(x\right) mit der xx-Achse zu berechnen, musst du daher den y-Wert gleich Null setzen. Anschließend löst du die Gleichung nach x auf.

Beispiel:

Wir wollen berechnen, in welchem Punkt die Gerade y=2x4y=2x-4 die xx-Achse schneidet. Andres gesagt: Wir wollen die Nullstellen der Gerade berechnen.

Wie du an der Abbildung erkennen kannst, ist BB der Punkt, in dem die Gerade die xx-Achse schneidet. Die yy-Koordinate von BB ist gleich Null: y=0y=0.

Um zu berechnen, was die xx-Koordinate von BB ist, kannst du die Geradengleichung daher gleich Null setzen, also y=0y=0.

Diese Gleichung kannst du jetzt nach xx auflösen:

2x4\displaystyle 2x-4==0\displaystyle 0+4\displaystyle +4
2x\displaystyle 2x==4\displaystyle 4:2\displaystyle :2
x\displaystyle x==2\displaystyle 2

Die xx-Koordinate von BB ist also x=2x=2. Das kannst du auch oben am Graph überprüfen. Die Gerade hat also eine Nullstelle bei x=2x=2

Die Gerade schneidet die xx-Achse im Punkt B(20)B\left(2|0\right).

Beispiel:

Der Graph zeigt die Funktion f(x)=x3xf\left(x\right)=x^3-x.

Alternativ kannst du auch das f(x)f\left(x\right) durch yy ersetzen, also y=x3xy=x^3-x schreiben.

Wir wollen die Schnittpunkte von ff mit der xx-Achse, also die Nullstellen von ff berechnen. Deshalb setzen wir yy gleich Null: y=0y=0

Diese Gleichung müssen wir nun nach xx auflösen. Dafür können wir zunächst ein xx ausklammern:

Der Term in Klammern (x21)\left(x^2-1\right) erinnert uns an die 3. binomische Formel: (x21)=(x+1)(x1)\left(x^2-1\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right). Wenn wir diese anwenden, können wir die Nullstellen von ff leichter ablesen:

Ein Produkt ist immer genau dann Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Deshalb können wir die Schnittpunkte von ff ablesen:

Setzt man also beispielsweise in die erste Klammer (x+1)(x+1) für x=1x=-1 ein, wird diese Klammer Null. Damit wird das gesamte Produkt Null.

Die Schnittpunkte von ff mit der xx-Achse sind daherA(  1    0  ),    B(  0    0  ),    C(  1    0  )\mathrm A\left(\;-1\;\vert\;0\;\right),\;\;\mathrm B\left(\;0\;\vert\;0\;\right),\;\;\mathrm C\left(\;1\;\vert\;0\;\right)

Schnittpunkte mit der y-Achse

An den Punkten, an denen die Funktion f(x)f\left(x\right) die yy-Achse schneidet, ist der xx-Wert gleich Null.

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der yy-Achse sind dann allgemein: S(0y)S\left(0|y\right).

Um die Schnittpunkte einer Funktion f(x)f\left(x\right) mit der yy-Achse zu berechnen, musst du deswegen für xx Null einsetzen, also f(0)f\left(0\right) ausrechnen.

Beispiel:

Wir berechnen für die obige Gerade y=2x4y=2x-4 jetzt die Schnittpunkte mit der yy-Achse.

Wie du in der Abbildung sehen kannst, schneidet die Gerade die yy-Achse im Punkt AA. Die xx-Koordinate von AA ist Null: x=0x=0

Um jetzt die yy-Koordinate von AA zu berechnen, setzen wir deshalb für xx Null ein und rechnen yy aus:

Die yy-Koordinate von AA ist also 4-4. Das ist auch der yy-Achsenabschnitt der Gerade. Im Fall einer Gerade g(x)=mx+tg\left(x\right)=mx+t kannst du den yy-Achsenabschnitt auch direkt an der Funktionsgleichung ablesen: tt ist der yy-Achsenabschnitt.

Unsere Gerade schneidet die yy-Achse also im Punkt A(04)A\left(0|4\right).

Beispiel:

Wir wollen für die obige Funktion f(x)=x3xf(x)=x^3-x nun auch die Schnittpunkte mit der yy-Achse berechnen.

Dafür berechnen wir f(0)f\left(0\right):

Der Schnittpunkt von ff mit der yy-Achse ist  T(  0    0  )\mathrm T\left(\;0\;\vert\;0\;\right).

Der Schnittpunkt mit der yy-Achse heißt auch der yy-Achsenabschnitt der Funktion ff.

Jede Funktion hat immer höchstens einen Schnittpunkt mit der yy-Achse.

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