Nullstelle

Hier sind die Nullstelle(n) der linearen Funktion $f$ mit $f(x)=x+4$ und der quadratischen Funktion $g$ mit $g(x)=−(x−2)^2+4$ eingezeichnet.

Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist der x-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von $f$ mit der x-Achse.

Das sind also gerade die $x$ -Werte, an denen $f(x)=0$ ist.

Veranschaulichung an einem Applet

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Nullstellen berechnen

Wie du Nullstellen berechnen kannst, wird dir im Artikel Nullstellen berechnen erklärt.

Vielfachheit einer Nullstelle

Bei Polynomen unterscheidet man Nullstellen nach ihren Vielfachheiten. Sie gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt und wird durch die Exponenten in der Linearfaktorzerlegung des Polynoms bestimmt.

Die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2-4$ hat die Nullstellen $x=+2$ und $x=-2$ . Die Linearfaktorzerlegung lautet also $f(x)=(x-2)^{\color{red}{1}} \cdot(x+2)^{\color{red}{1}}$ . Bei beiden Nullstellen ist der jeweilige Exponent des Linearfaktors gleich $1$ . Die Nullstellen kommen also jeweils genau einmal vor. Man nennt diese Art von Nullstellen einfache Nullstellen.

Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 1.

Mehrfache Nullstellen

Es gibt aber auch Funktionen mit sogenannten mehrfachen Nullstellen.

Die Funktion $f$ mit $f(x)=(x-2)^{\color{red}{2}} =(x-2)\cdot (x-2)$ besitzt eine zweifache Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei $x=+2$ .

Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 2.

Die Funktion $f$ mit $f(x)=(x-2)^{\color{red}3}=(x-2)\cdot (x-2)\cdot (x-2)$ besitzt eine dreifache Nullstelle bei $x=+2$ .

Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 3.

Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen,… Nullstellen.

Graphische Bedeutung der Vielfachheit

In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion $f$ die $x$ -Achse. Ob ein Schnittpunkt oder ein Berührpunkt vorliegt, kann man an der Vielfachheit der Nullstelle feststellen:

Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkte mit der $x$ -Achse.

Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der $x$ -Achse.

Somit tritt an Nullstellen mit ungerader Vielfachheit ein Vorzeichenwechsel und an Nullstellen mit gerader Vielfachheit kein Vorzeichenwechsel auf.

Man kann also durch das Vorzeichenverhalten in der Umgebung der Nullstellen überprüfen, ob es sich um eine Nullstelle mit gerader oder ungerader Vielfachheit handelt.

Graphische Darstellung: Nullstellen aufsteigender Vielfachheit (1-6)

Video zur doppelten und dreifachen Nullstellen

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Beispiele

Funktion	in Linearfaktoren zerlegt	Vielfachheit der Nullstellen
$f(x)=x^6$	$f(x) = (x-0)\cdot … \cdot (x-0) =(x-0)^6$	sechsfache Nullstelle bei $x=0$
$f(x)=x^2-4$	$f(x)=(x+2)^1\cdot(x-2)^1$	jeweils einfache Nullstelle bei $x=-2$ und $x=2$
$f(x)=x^3-x^2-x+1$	$f(x)=(x+1)^1\cdot(x-1)^2$	einfache Nullstelle bei $x=-1$ und doppelte Nullstelle bei $x=1$

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