Eine Nullstelle einer Funktion ist der x-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von mit der x-Achse.
Das sind also gerade die -Werte, an denen ist.
Hier sind die Nullstelle(n) der linearen Funktion mit und der quadratischen Funktion mit eingezeichnet.
Veranschaulichung an einem Applet
Nullstellen berechnen
Wie du Nullstellen berechnen kannst, wird dir im Artikel Nullstellen berechnen erklärt.
Vielfachheit einer Nullstelle
Bei Polynomen unterscheidet man Nullstellen nach ihren Vielfachheiten. Sie gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt und wird durch die Exponenten in der Linearfaktorzerlegung des Polynoms bestimmt.
Die Funktion mit hat die Nullstellen und . Die Linearfaktorzerlegung lautet also . Bei beiden Nullstellen ist der jeweilige Exponent des Linearfaktors gleich . Die Nullstellen kommen also jeweils genau einmal vor. Man nennt diese Art von Nullstellen einfache Nullstellen.
Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 1.
Mehrfache Nullstellen
Es gibt aber auch Funktionen mit sogenannten mehrfachen Nullstellen.
Die Funktion mit besitzt eine zweifache Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei .
Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 2.
Die Funktion mit besitzt eine dreifache Nullstelle bei .
Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 3.
Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen,… Nullstellen.
Graphische Bedeutung der Vielfachheit
In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion die -Achse. Ob ein Schnittpunkt oder ein Berührpunkt vorliegt, kann man an der Vielfachheit der Nullstelle feststellen:
Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkte mit der -Achse.
Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der -Achse.
Somit tritt an Nullstellen mit ungerader Vielfachheit ein Vorzeichenwechsel und an Nullstellen mit gerader Vielfachheit kein Vorzeichenwechsel auf.
Man kann also durch das Vorzeichenverhalten in der Umgebung der Nullstellen überprüfen, ob es sich um eine Nullstelle mit gerader oder ungerader Vielfachheit handelt.
Graphische Darstellung: Nullstellen aufsteigender Vielfachheit (1-6)
Video zur doppelten und dreifachen Nullstellen
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Beispiele
Funktion
in Linearfaktoren zerlegt
Vielfachheit der Nullstellen
sechsfache Nullstelle bei
jeweils einfache Nullstelle bei und
einfache Nullstelle bei und doppelte Nullstelle bei