Nullstelle

Eine Nullstelle einer  Funktion fff ist der x-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von fff mit der x-Achse. 
Das sind also gerade die xxx -Werte, an denen f(x)=0f(x)=0f(x)=0 ist.

Hier sind die Nullstelle(n) der linearen Funktion f mit f(x)=x+4 und der quadratischen Funktion g mit g(x)=−(x−2)^2+4 eingezeichnet.

Veranschaulichung an einem Applet

Übungsaufgaben

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab.

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Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Nullstelle﻿

Nullstellen berechnen

Wie du Nullstellen berechnen kannst, wird dir im Artikel Nullstellen berechnen erklärt.

Vielfachheit einer Nullstelle

Bei  Polynomen  unterscheidet man Nullstellen nach ihren Vielfachheiten. Sie gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt und wird durch die Exponenten in der  Linearfaktorzerlegung des Polynoms bestimmt.
Die Funktion fff mit f(x)=x2−4f(x)=x^2-4f(x)=x2−4 hat die Nullstellen x=+2x=+2x=+2 und x=−2x=-2x=−2. Die Linearfaktorzerlegung lautet also f(x)=(x−2)1⋅(x+2)1f(x)=(x-2)^\color{red}{1}\cdot (x+2)^\color{red}{1}f(x)=(x−2)1⋅(x+2)1. Bei beiden Nullstellen ist der jeweilige Exponent des Linearfaktors gleich 111.Die Nullstellen kommen also jeweils genau einmal vor. Man nennt diese Art von Nullstellen also einfache Nullstellen.
Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 1.

Mehrfache Nullstellen

Es gibt aber auch Funktionen mit sogenannten mehrfachen Nullstellen.
Die Funktion fff mit  f(x)=(x−2)2=(x−2)⋅(x−2)f(x)=(x-2)^\color{red}{2}=(x-2)\cdot (x-2)f(x)=(x−2)2=(x−2)⋅(x−2) besitzt eine zweifache Nullstelle (doppelte Nullstelle) bei x=+2x=+2x=+2.
Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 2.
Die Funktion fff mit f(x)=(x−2)3=(x−2)⋅(x−2)⋅(x−2)f(x)=(x-2)^\color{red}3=(x-2)\cdot (x-2)\cdot (x-2)f(x)=(x−2)3=(x−2)⋅(x−2)⋅(x−2) besitzt eine dreifache Nullstelle bei x=+2x=+2x=+2.
Man sagt: Die Nullstelle hat Vielfachheit 3.
Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen,… Nullstellen.

Graphische Bedeutung der Vielfachheit

In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion fff die xxx-Achse.Ob ein Schnittpunkt oder ein Berührpunkt vorliegt, kann man an der Vielfachheit der Nullstelle feststellen:

Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkte mit der xxx-Achse.

Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der xxx-Achse.
Somit tritt an Nullstellen mit ungerader Vielfachheit ein Vorzeichenwechsel und an Nullstellen mit gerader Vielfachheit kein Vorzeichenwechsel auf.
Man kann also durch das Vorzeichenverhalten in der Umgebung der Nullstellen überprüfen, ob es sich um eine Nullstelle mit gerader oder ungerader Vielfachheit handelt.

Graphische Darstellung: Nullstellen aufsteigender Vielfachheit (1-6)

Video zur doppelten und dreifachen Nullstellen

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Beispiele

Funktion

in Linearfaktoren zerlegt

Vielfachheit der Nullstellen

﻿f(x)=x6f(x)=x^6f(x)=x6﻿

﻿f(x)=(x−0)⋅…⋅(x−0)=(x−0)6f(x) = (x-0)\cdot … \cdot (x-0) =(x-0)^6f(x)=(x−0)⋅…⋅(x−0)=(x−0)6﻿

sechsfache Nullstelle bei x=0x=0x=0﻿

﻿f(x)=x2−4f(x)=x^2-4f(x)=x2−4﻿

﻿f(x)=(x+2)1⋅(x−2)f(x)=(x+2)^1\cdot(x-2)f(x)=(x+2)1⋅(x−2)﻿

jeweils einfache Nullstelle bei  x=−2x=-2x=−2  und  x=2x=2x=2﻿

﻿f(x)=x3−x2−x+1f(x)=x^3-x^2-x+1f(x)=x3−x2−x+1﻿

﻿f(x)=(x+1)1⋅(x−1)2f(x)=(x+1)^1\cdot(x-1)^2f(x)=(x+1)1⋅(x−1)2﻿

einfache Nullstelle bei  x=−1x=-1x=−1  und doppelte Nullstelle bei  x=1x=1x=1﻿

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Nullstelle﻿

Vielfachheit einer Nullstelle und Kurvendiskussion

An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein Vorzeichenwechsel auf.
Ist die Vielfachheit größer als 1, liegt dort ein Terassen- und ein Wendepunkt vor.
An Nullstellen mit gerader Vielfachheit tritt kein Vorzeichenwechsel auf.
Es liegt dort immer ein Extremum vor.

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