Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die

Das Element yy wird Funktionswert an der Stelle xx genannt.

Bemerkung: Häufig bezeichnet man Funktionen mit einem einzelnen Buchstaben. Der gewöhnlichste Name für eine Funktion ist ff.

Mit diesem Namen kann man einfach verdeutlichen, dass yy der Funktionswert an der Stelle xx ist, indem man y=f(x)y = f(x) schreibt. Gelesen wird dies "yy ist gleich ff von xx".

Beispiele von Funktionen

Beispiel 1

ff soll die Funktion sein, die jeder Tierart die Anzahl an Beinen zuordnet, die das Tier normalerweise hat.

Beispiele für Funktionswerte sind dann:

  • f(Katze)=4f(\text{Katze})=4 ("der Funktionswert an der Stelle Katze ist 44")

  • f(Spinne)=8f(\text{Spinne})=8 ("ff von Spinne ist gleich 88")

  • f(Ameise)=6f(\text{Ameise})=6 ("ff von Ameise ist gleich 66")

  • f(Hund)=4f(\text{Hund})=4 ("ff von Hund ist gleich 44")

Warum ist ff eine Funktion?

Ganz einfach:

  • ff hat einen Definitionsbereich (die Menge aller Tierarten).

  • ff hat einen Wertebereich (die Menge N0\mathbb{N_0} aller natürlichen Zahlen mit der Null)

  • und jeder Tierart kann eindeutig eine solche Anzahl an Beinen zugeordnet werden.

Beispiel 2

Ein Mobilfunkanbieter berechnet für jede angefangene Gesprächsminute 0,150{,}15 €.

gg soll die Funktion sein, die der Dauer eines Telefonats die zugehörigen Kosten zuordnet.

Der Definitionsbereich ist in diesem Beispiel durch die natürlichen Zahlen inklusive der Null gegeben (N0\mathbb{N}_{0}). Denn laut der Aufgabenstellung wird bei der Minutenangabe aufgerundet.

Am Graphen ist gut erkennbar, dass je länger man telefoniert, die Kosten steigen. Somit können Funktionen gut Zusammenhänge wiedergeben.

Beispiel 3

hh soll die Funktion sein, die jeder natürlichen Zahl das Doppelte ihres Wertes zuordnet.

Für jede Zahl ist diese Zuordnung offensichtlich eindeutig.

Beispiele für Funktionswerte:

  • h(1)=21=2h(1) = 2\cdot1 = 2 (das Doppelte von 1 ist 2)

Oft verwendete Schreibweisen

An einem Beispiel sollen die häufig verwendeten Bezeichnungen gegenüber gestellt werden.

Am Anfang steht die Zuordnungsvorschrift, sie legt den Namen, die Variable und den Wert der Funktion fest:

Weil die Funktionswerte sehr oft mit einer Formel, also einem Term berechnet werden, gibt man statt y meistens gleich diesen Term an

Zum Beispiel:

Diese Funktion heißt also ff. Sie ordnet jeder Einsetzung für xx eine Wert yy zu, der mit dem Funktionsterm f(x)f(x) berechnet wird. Die Einsetzungen werden aus der Definitionsmenge DD gewählt. Häufige andere Bezeichnungen sind gg oder mit Index, zum Beispiel f1f_1 oder g3g_3 .

Damit ist schon geklärt, was es mit dem Funktionsterm auf sich hat. Bei jedem Term werden die Termvariablen in Klammern angegeben. In den meisten Fällen gibt es nur die Variable xx. Dann heißt der Funktionsterm eben f(x)f(x) oder g(x)g(x) oder f3(x)f_3(x), je nachdem welche Bezeichnung die Funktion erhalten hat.

Zum oben gewählten Beispiel würde man schreiben:

Zur Funktionsgleichung: Bisher war die Sichtweise, dass einer Einsetzung für xx nach einer Vorschrift, dem Funktionsterm f(x)f(x), ein eindeutig bestimmtes y zugeordnet wird. Betrachtet man diese zusammengehörenden Werte als Wertepaare (x,y) (x, y), dann kann das yy aus dem xx mit einem Term berechnet werden:

Es liegt also eine Gleichung mit zwei Variablen vor.

Der Funktionsterm kann also Bestandteil der Zuordnungsvorschrift oder der Funktionsgleichung sein.

Diese Sichtweise ist wichtig, wenn man Funktionen über ihre Wertepaare (x,y)(x,y) in eine xx-yy-Koordinatensystem einträgt. Diese Menge von Punkten, die durch die Wertepaare gebildet werden, nennt man den Graphen der Funktion f f, man bezeichnet ihn mit GfG_f. Der Graph ist die Menge aller Punkte:

Wichtig: Oft werden für Funktionsnamen und Variable andere Buchstaben verwendet. In der Physik verwendet man zum Beispiel t als Variable, wenn tt dabei die Zeit beschreiben soll (tempus ist das lateinische Wort für Zeit).

Betrachtet man mehrere Funktionen gleichzeitig, bietet es sich an eine als ff, eine als gg, eine als hh und so weiter zu bezeichnen.

Besondere Eigenschaften von Funktionen

Stetigkeit 

Eine Funktion ff heißt genau dann stetig an einer Stelle x0x_0, wenn der Funktionswert an dieser Stelle mit sowohl dem links- als auch rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d. h. wenn gilt:

Mehr zum Thema in unserem Artikel Stetigkeit.                             

Differenzierbarkeit

Eine Funktion ff heißt differenzierbar an einer Stelle x0x_0 ihres Definitionsbereichs, falls der Differentialquotient existiert:

Mehr zum Thema in unserem Artikel Differenzierbarkeit.

                                        

Periodizität einer Funktion

Eine reelle Zahl TT heißt Periode einer Funktion, wenn für alle Elemente xx aus der Definitionsmenge gilt: f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T) .

Die Funktion hat also im "Abstand TT" immer den gleichen Funktionswert.

Anders ausgedrückt:

Verschiebt man den Graphen in xx-Richtung um TT, so ändert sich der Funktionsgraph nicht.

Mehr zum Thema in unserem Artikel Periode (einer Funktion)

Beispiel:

f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) mit T=2πT=2\pi

Umkehrfunktion   

Die Umkehrfunktion   f1f^{-1} einer Funktion ff bezeichnet die Funktion, die die Funktionswerte f(x)f(x) wieder auf ihre Argumente xx abbildet (wenn so eine Funktion existiert, also wenn ff umkehrbar ist). Die Umkehrfunktion existiert nur, wenn jeder Wert in der Wertemenge höchstens einmal "getroffen" wird.

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