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Periode (einer Funktion)

Sinusfunktion markiert auf einer Periode.

Bei manchen Funktionen wiederholen sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abschnitten. Ist dies der Fall, so bezeichnet man die Länge des kürzesten solchen Abschnitts als die Periode der Funktion.

Das ist nicht zu verwechseln mit der Periode von Dezimalzahlen.

Beispiel

Ein Beispiel einer periodischen Funktion ist die Sinusfunktion.

Sinus

An dem Graphen erkennt man (auch anhand der Farben), dass sich sin(x)\sin(x) im Abstand von 2π2\mathrm\pi wiederholt. Das heißt, die Sinusfunktion besitzt die Periode 2π2 \pi.

Startet man an einer beliebigen Stelle xx, kann man beliebig oft 2π2\pi addieren/subtrahieren und der Funktionswert des Sinus bleibt derselbe. Zum Beispiel:

sin(0)=sin(4π)=sin(2π)\sin(0)=\sin(4\pi)=\sin(-2\pi)

sin(1)=sin(1+2π)=sin(1+24π)\sin(1)=\sin(1+2\pi)=\sin(1+24\pi)

Das selbe gilt auch für die Kosinusfunktion.

Formel

Falls eine Funktion ff die Periode pp besitzt, dann gilt

f(x)=f(x+p)=f(x+2p)=f(x+3p)= f\left( x\right)= f\left( x+ p\right)= f\left( x+2 p\right)=f (x+3p)=~…

und  f(x)=f(xp)=f(x2p)=f(x3p)= ~f(x)=f(x-p)=f(x-2p)=f(x-3p)=~…

Hieran erkennt man, dass man zu jedem xx ein Vielfaches der Periode pp addieren/subtrahieren kann und der Funktionswert bleibt dabei derselbe.

Eigenschaften

  • Die verschobenen und gestreckten Sinus- und Kosinusfunktionen können durch asin(b(x+c))+da \cdot \sin\left(b\cdot (x+c)\right)+d und acos(b(x+c))+da \cdot \cos\left(b\cdot (x+c)\right)+d dargestellt werden. Sie besitzen jeweils die Periode p=2πbp=\frac{2\pi}{|b|}.

  • Eine Funktion mit Periode pp wiederholt sich ebenfalls auch alle 2p,3p,2p, 3p ,\dots. Als Periode bezeichnet man aber den kleinsten Wert mit dieser Eigenschaft.

  • Besitzt eine Funktion die Periode pp, dann spricht man davon, dass die Funktion pp-periodisch ist.  

  • Man sagt, der Graph einer periodischen Funktion ist verschiebungssymmetrisch mit ihrer Periode.

  • Addiert man zwei Funktionen mit verschiedenen Perioden, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Perioden die Periode der neuen Funktion.

  • Den Kehrwert der Periode, also 1p\frac1{ p}, nennt man auch Frequenz.

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