Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind mathematische Funktionen, die sowohl

Durch die Form ihrer Graphen spielen sie auch eine wichtige Rolle bei der mathematischen Beschreibung von Wellen und Schwingungen.

Eigenschaften

Der Sinus und der Kosinus haben beide

Außerdem ist der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung, und der Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Sinus

Kosinus

Hier kommen einige wichtige Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion.

Nullstellen

In den folgenden Graphiken sind die Nullstellen\color{#cc0000}{\text{Nullstellen}} von Sinus und Kosinus markiert.

Man sieht an den Schnittpunkten mit der x-Achse, dass für jedes kZk\in \mathbb{Z} gilt:

sin(kπ)=0\sin\left(k\cdot\pi\right)=0

Das heißt {,π,0,π,2π,3π,}\rightarrow\{…,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,…\} sind die Nullstellen des Sinus.

Hier sieht man an den Schnittpunkten mit der x-Achse, dass für alle kZk\in ℤ gilt:

cos(π2+kπ)=0cos(\frac \pi{2}+k \cdot \pi)=0

Das heißt {,π2,π2,3π2,5π2,}\rightarrow\{…,-\frac\pi2,\frac\pi2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,…\} sind die Nullstellen vom Kosinus.

Extrema

In den folgenden Graphiken sind die Maxima\color{#660099}{\text{Maxima}} und Minima\color{#ff6600}{\text{Minima}} von Sinus und Kosinus markiert.

Maximum

sin(4k+12π)=1      fu¨r  kZ\sin\left(\frac{4k+1}2\cdot\pi\right)=1\;\;\;\mathrm{für}\;k\in ℤ,

das heißt {,7π2,3π2,π2,5π2,9π2,}\{…,-\frac{7\pi}2,-\frac{3\pi}2,\frac\pi2,\frac{5\pi}2,\frac{9\pi}2,…\} sind die Maxima vom Sinus.

cos(2kπ)=1      mit  kZ\cos(2k\cdot\pi)=1\;\;\;\mathrm{mit}\;k\in ℤ,

das heißt {,4π,2π,0,2π,4π,}\{…, -4\pi,-2\pi,0{,}2\pi,4\pi,…\} sind die Maxima vom Kosinus.

Minimum

sin(4k12π)=1      fu¨r  kZ\sin\left(\frac{4k-1}2\cdot\pi\right)=-1\;\;\;\mathrm{für}\;k\in ℤ,

das heißt {,9π2,5π2,π2,3π2,7π2,}\{…,-\frac{9\pi}2,-\frac{5\pi}2,-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}2,…\} sind die Minima.

cos(2kπ+π)=1      mit  kZ\cos(2k\cdot\pi+\pi)=-1\;\;\;\mathrm{mit}\;k\in ℤ,

das heißt {,3π,π,π,3π,5π,}\{…, -3\pi,-\pi,\pi,3\pi,5\pi,…\} sind die Minima.

Zusammenhang zwischen sin(x) und cos(x)

Wenn man den Graphen der Sinusfunktion um π2\frac\pi2 nach links oder um 3π2\frac{3\pi}2 nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Kosinusfunktion.

Das heißt sin(x+π2)=cos(x)=sin(x3π2)\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos\left(x\right)=\sin\left(x-\frac{3\pi}2\right).

Wenn man den Graphen der Kosinusfunktion um 3π2\frac{3\pi}2 nach links oder um π2\frac\pi2 nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Sinusfunktion.

Das heißt cos(xπ2)=sin(x)=cos(x+3π2)\cos\left(x-\frac\pi2\right)=\sin\left(x\right)=\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right).

Beispielaufgaben

Skizziere die veränderte Sinusfunktion f(x)=2sin(xπ2)f(x)=2\cdot \sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) im Definitionsbereich [π2,5π2]\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\right] in ein Koordinatensystem und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstellen ab.

Tipp: Im Artikel Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen findet man, was die 2 vor dem sin und das π/2\pi/2 mit dem Graphen machen.

Lösung

Hier hast du eine Sinusfunktion mit Amplitude 22, welche um π2\dfrac{\pi}{2} nach rechts verschoben wurde.

Lies das Gesuchte aus dem Graphen ab.

Wertebereich: [2,2][-2{,}2]

Nullstellen: π2,π2,3π2,5π2-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}

Extremstellen: 0,π,2π0, \pi, 2\pi

Video zu Sinus-, Kosinus-, und Tangensfunktion

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