Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion können auf verschiedene Weise verändert werden. Sie können in xx- und yy-Richtung verschoben, gestreckt oder gestaucht sein.

Eine veränderte trigonometrische Funktion kann zum Beispiel so aussehen:

Um die Veränderungen leichter beschreiben zu können, klammert man den Faktor vor dem xx aus: f(x)=3sin(2(x+12))1f(x) = 3 \cdot \sin\left(2 \cdot (x+ \dfrac12)\right) -1

Allgemeine Form

Sinus: f(x)=asin(b(x+c))+d\displaystyle{f(x) = a \cdot \sin \big(b \cdot(x + c)\big) + d}

Kosinus: f(x)=acos(b(x+c))+d\displaystyle{f(x) = a \cdot \cos \big(b \cdot(x + c)\big) + d}

Die reellen Parameter a,b,c,da,b,c,d bestimmen, wie der Graph genau verändert wird.

Bemerkung: Nicht nur trigonometrische Funktionen lassen sich so verändern. Unter den folgenden Links findest du wie man den Graphen einer beliebigen Funktion verschiebt oder staucht, oder streckt.

Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen

Beobachtung an Beispielen

1. Betrachte f(x)=sin(2x)+1.f(x)=\sin(2\cdot x)+1.

Im Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter dd und bb verändert:

  1. Zunächst wird dd vom Startwert 00 beginnend bis zum Endwert 11 verändert. Währenddessen verschiebt sich der Funktionsgraph um 11 in yy-Richtung nach oben. Beim Endwert d=1d=1 hat die Funktion die Ruhelage y=1y=1. d\Rightarrow d verändert also die Ruhelage der Funktion.

  2. Danach wird bb vom Startwert 11 beginnend bis zum Endwert 22 verändert. Währenddessen staucht sich der Funktionsgraph in xx-Richtung zusammen; die Wellenberge und Wellentäler rücken enger aneinander, die Periode der Funktion wird kleiner. Beim Endwert b=2b=2 ist die Periode nur noch π\pi statt 2π2\pi. b\Rightarrow b verändert also die Periode der Funktion.

2. Betrachte g(x)=2cos(x1).g(x)=2\cdot\cos(x-1).

Auch an diesem Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter aa und cc verändert:

  1. Zuerst wird cc vom Startwert 00 beginnend auf den Wert 1-1 verändert. Dabei verschiebt sich der Funktionsgraph in xx-Richtung um den Wert 11 nach rechts. c\Rightarrow c verändert also die Lage des Funktionsgraphen in xx-Richtung.

  2. Danach wird aa vom Startwert 11 beginnend bis zum Endwert 22 verändert. Dabei wird der Funktionsgraph in yy-Richtung gestreckt. a\Rightarrow a verändert also die Amplitude der Funktion.

Überblick über den Einfluss der Parameter

Parameter aa

Der Parameter aa beeinflusst die Amplitude. Er streckt/staucht den Graph in yy-Richtung.

  • Der Graph hat die Amplitudea|a|

  • a<0a<0: Der Graph wird zusätzlich an der Ruhelage gespiegelt.

Parameter bb

Der Parameter bb beeinflusst die Periode. Er streckt/staucht den Graph in xx-Richtung.

  • Der Graph hat die Periode p=2πbp = \dfrac{2\pi}{|b|}

  • b<0b<0: Der Graph wird zusätzlich an der senkrechten Achse x=cx = -c gespiegelt

Parameter cc

Der Parameter cc verursacht eine Verschiebung in xx-Richtung

  • c>0c > 0 : Verschiebung um cc nach links

  • c<0c < 0 : Verschiebung um cc nach rechts

Parameter dd

Der Parameter dd beeinflusst die Ruhelage. Er verschiebt den Graph in yy-Richtung

  • d>0d > 0: Verschiebung um dd nach oben

  • d<0d < 0: Verschiebung um dd nach unten

  • Der Graph hat die Ruhelage bei y=dy = d

Zum Ausprobieren im Applet

Die beschriebenen Zusammenhänge sind in folgendem Applet veranschaulicht:


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