Funktionsgraphen stauchen und strecken

Das Strecken bzw. Stauchen eines Funktionsgraphen kann man sich folgendermaßen vorstellen:

Der Graph ist auf einem elastischen Stoff gezeichnet. In yy-Richtung strecken heißt, den Stoff nach oben und unten zu ziehen, in xx-Richtung strecken heißt entsprechend, den Stoff nach links und rechts zu ziehen.

Um den Graphen zu stauchen, "schiebt" man den Stoff zusammen (ohne dass er Falten wirft).

Diese Änderung kann man auch mathematisch am Funktionsterm darstellen.

Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor aa

Wenn die Funktion ff in yy -Richtung getreckt oder gestaucht werden soll, multipliziert man den Funktionsterm mit einem Faktor a0a\neq 0. Wenn die Funktion ff in xx-Richtung gestreckt oder gestaucht werden soll, dividiert man die Variable durch a0a\neq 0.

Ist a<1|a|<1 spricht man von Stauchen,

ist a>1|a|>1 von Strecken.

Beispiel

Strecken in yy-Richtung

f(x)=x213x+4,  f(x)=x^2-\frac13x+4,\; Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) a=6a=6

=> g(x)=af(x)=6f(x)=6(x213x+4)=6x22x+24g(x)=a\cdot f(x)=6\cdot f(x)=6\cdot\left(x^2-\frac13x+4\right)=6x^2-2x+24

Strecken in xx-Richtung

f(x)=x213x+4,  f(x)=x^2-\frac13x+4,\; Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) a=3a=3

=> g(x)=f(xa)=(x3)213(x3)+4=x29x9+4g(x)=f(\frac xa)=(\frac x3)^2-\frac13(\frac x3)+4=\frac{x^2}9-\frac x9+4

Streckung und Stauchung in yy-Richtung

Im Folgenden ist der Graph GfG_ f der Ausgangsfunktion ff  rot eingezeichnet und der gestreckte bzw. gestauchte Graph GgG_ g der neuen Funktion gg schwarz.

Soll in yy-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird der ganze Funktionsterm mit dem Faktor aa multipliziert:

Streckfaktor

Funktionsterm der veränderten Funktion

Geometrische Veränderung

Stauchung

Streckung

Graphen

Falls aa negativ ist, so wird der Graph zusätzlich noch an der xx-Achse gespiegelt.

Streckfaktor

Funktionsterm der veränderten Funktion

Geometrische Veränderung

Spiegelung an der x-Achse

Streckung

Spiegelung an der x-Achse

Stauchung

Graphen

Veranschaulichung am Applet

Stauchung und Streckung in xx-Richtung

Wie oben ist auch hier der Ausgangsgraph GfG_f rot eingezeichnet und der gestreckte (gestauchte) Graph GgG_ g  schwarz.

Soll in xx-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird die Variable xx durch den Faktor aa dividiert.

Streckfaktor

Funktionsterm der veränderten Funktion

Geometrische Veränderung

Stauchung

Streckung

Graphen

Streckfaktor

Funktionsterm der veränderten Funktion

Geometrische Veränderung

Spiegelung an der y-Achse

Spiegelung an der y-Achse

Stauchung

Graphen

Veranschaulichung am Applet

Video zur Streckung von Funktionsgraphen

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