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Funktionsgraphen stauchen und strecken

Ähnlich wie sich ein Stück Stoff in verschiedene Richtungen dehnen lässt, lässt sich ein Funktionsgraph in x- und y-Richtung stauchen und strecken.

Das Strecken bzw. Stauchen eines Funktionsgraphen kann man sich folgendermaßen vorstellen:

Der Graph ist auf einem elastischen Stoff gezeichnet. In yy-Richtung strecken heißt, den Stoff nach oben und unten zu ziehen, in xx-Richtung strecken heißt entsprechend, den Stoff nach links und rechts zu ziehen.

Um den Graphen zu stauchen, "schiebt" man den Stoff zusammen (ohne dass er Falten wirft).

Diese Änderung kann man auch mathematisch am Funktionsterm darstellen.

Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor aa

Wenn die Funktion ff in yy-Richtung getreckt oder gestaucht werden soll, multipliziert man den Funktionsterm mit einem Faktor a0a\neq 0. Wenn die Funktion ff in xx-Richtung gestreckt oder gestaucht werden soll, dividiert man die Variable durch a0a\neq 0.

Ist a<1|a|<1 spricht man von Stauchen,

ist a>1|a|>1 von Strecken.

Beispiele

BeispielStrecken in yy-Richtung

f(x)=x213x+4,  f(x)=x^2-\frac13x+4,\;

Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) a=6a=6

\Rightarrow g(x)=af(x)=6f(x)=6(x213x+4)=6x22x+24g(x)=a\cdot f(x)=6\cdot f(x)=6\cdot\left(x^2-\frac{1}{3}x+4\right)=6x^2-2x+24

BeispielStrecken in xx-Richtung

f(x)=x213x+4,  f(x)=x^2-\frac13x+4,\;

Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) a=3a=3

\Rightarrow g(x)=f(xa)=(x3)213(x3)+4=x29x9+4g(x)=f(\frac{x}{a})=(\frac{x}{3})^2-\frac{1}{3}(\frac{x}{3})+4=\frac{x^2}{9}-\frac{x}{9}+4

Streckung und Stauchung in yy-Richtung

Im Folgenden ist der Graph GfG_ f der Ausgangsfunktion ff rot eingezeichnet und der gestreckte bzw. gestauchte Graph GgG_ g der neuen Funktion gg schwarz.

Soll in yy-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird der ganze Funktionsterm mit dem Faktor aa multipliziert:

g(x)=af(x)g(x)=a\cdot f(x)

Streckfaktor

a=1/2a=1/2

a=2a=2

Funktionsterm d. veränderten Funktion

g(x)=12f(x)g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)

g(x)=2f(x)g\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)

Geometrische Veränderung

Stauchung

Streckung

Graphen

Bild
Bild

Falls aa negativ ist, so wird der Graph zusätzlich noch an der xx-Achse gespiegelt.

Streckfaktor

a=2a=-2

a=12a=-\frac{1}{2}

Funktionsterm d. veränderten Funktion

g(x)=2f(x)g\left(x\right)=-2\cdot f\left(x\right)

g(x)=12f(x)g\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)

Geometrische Veränderung

Spiegelung an der x-Achse

Streckung

Spiegelung an der x-Achse

Stauchung

Graphen

Bild
Bild

Veranschaulichung am Applet

Stauchung und Streckung in xx-Richtung

Wie oben ist auch hier der Ausgangsgraph GfG_f rot eingezeichnet und der gestreckte (gestauchte) Graph GgG_ g  schwarz.

Soll in xx-Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird die Variable xx durch den Faktor aa dividiert.

g(x)=f(xa)g(x)=f\left(\frac{x}a\right)

Streckfaktor

a=12a=\frac{1}{2}

a=2a=2

Funktionsterm d. veränderten Funktion

g(x)=f(2x)g\left(x\right)=f\left(2\cdot x\right)

g(x)=f(12x)g\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2}\cdot x\right)

Geometrische Veränderung

Stauchung

Streckung

Graphen

Bild
Bild

Streckfaktor

a=1a=-1

a=12a=-\frac{1}{2}

Funktionsterm d. veränderten Funktion

g(x)=f(x)g\left(x\right)=f\left(-x\right)

g(x)=f(2x)g\left(x\right)=f\left(-2\cdot x\right)

Geometrische Veränderung

Spiegelung an der y-Achse

Spiegelung an der y-Achse

Stauchung

Graphen

Bild
Bild

Veranschaulichung am Applet

Video zur Streckung von Funktionsgraphen

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Verändern von Funktionsgraphen

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