Aufgaben zum Verändern von Funktionsgraphen

Wie gut kennst du dich aus? Teste dein Wissen zum Verändern von Funktionsgraphen mit diesen Übungsaufgaben!

1
Gegeben ist die Funktion $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .
Gib den Term an, der zu derjenigen Funktion gehört, deren Graph im Vergleich zum Graphen von $f$
1. um 1 nach links verschoben ist
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
  $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$
  Verschiebe den Graphen um 1 nach links.
  $g (x) = f (x + a)$
  Setze für $a = 1$ ein
  $g (x) = \frac{1}{2 (x + 1) + 5}$
  Rechne die Klammer aus und fasse zusammen
  $g (x) = \frac{1}{2 x + 2 + 5} = \frac{1}{2 x + 7}$
  Der Term des um 1 nach links verschobenen Graphen lautet
  $g (x) = \frac{1}{2 x + 7}$
  Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.
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2. mit dem Faktor 5 in y-Richtung gestreckt ist
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen stauchen und strecken
  $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$
  Streckungsfaktor $a = 5$
  $g (x) = a \cdot f (x)$
  Setze $a = 5$ ein
  $g (x) = 5 \cdot f (x) = 5 (\frac{1}{2 x + 5})$
  Rechne die Klammer aus
  $g (x) = \frac{5}{2 x + 5}$
  Der Term lautet $g (x) = \frac{5}{2 x + 5}$
  Im Folgenden ist der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestreckte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.
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3. um 2 nach oben verschoben ist
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
  $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$
  Verschiebung des Graphen um 2 nach oben.
  $g (x) = f (x) + a$
  Setzte für $a = 2$ ein
  $g (x) = f (x) + 2 = \frac{1}{2 x + 5} + 2$
  Der Term des um 2 nach oben verschobenen Graphen lautet
  $g (x) = \frac{1}{2 x + 5} + 2$
  Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.
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2
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1$
Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor $a = 2$ in Richtung der $y$ -Achse gestreckt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen stauchen und strecken
$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1$
Streckungsfaktor in $y$ -Richtung: a=2
$g (x) = a \cdot f (x)$
$g (x) = 2 \cdot f (x) = 2 \cdot (2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 2$
Der Graph von $f$ der Ausgangsfunktion ist rot eingezeichnet und der gestreckte Graph von $g$ ist schwarz.
Der in Richtung der $y$ -Achse gestreckte Graph hat den Term
$g (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 2$
3
Gegeben ist die Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$
Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor $a = 4$ in Richtung der $x$ -Achse gestreckt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion stauchen und strecken
Funktionsgraphen strecken und stauchen
$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$
Streckungsfaktor $a = 4$
$g (x)$ $=$ $f (\frac{x}{a})$
↓
Setze $a = 4$ ein.
$=$ $f (\frac{x}{4})$
$=$ $\frac{1}{(\frac{x}{4}) 2 - 1}$
↓
Rechne die Klammer aus.
$=$ $\frac{1}{\frac{x^{2}}{16} - 1}$
$=$ $\frac{1}{\frac{x^{2} - 16}{16}}$
↓
Berechne den Bruch.
$=$ $\frac{16}{x^{2} - 16}$
Der Graph Gf der Ausgangsfunktion f rot eingezeichnet und der gestreckte Graph Gg der neuen Funktion g schwarz.
Der in Richtung der $x$ -Achse gestreckte Graph hat den Term
$g (x) = \frac{16}{x^{2} - 16}$
4
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + x$
Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor $a = - \frac{1}{4}$ in Richtung der $y$ -Achse gestreckt wird. Welche Besonderheit ergibt sich aus dem Streckungsfaktor?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen stauchen und strecken
$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + x$
Streckungsfaktor $a = - \frac{1}{4}$
$g (x) = a \cdot f (x)$
$g (x) = - \frac{1}{4} (x^{4} - 3 x^{3} + x) = - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{4} x^{3} - \frac{1}{4} x$
Da $| a | < 1$ ist, wird der Graph gestaucht und weil a negativ ist, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Der Graph der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der gestauchte Graph der neuen Funktion g ist schwarz.
Der Term des gestauchten Graphen lautet
$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{4} x^{3} - \frac{1}{4} x$ .
5
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2$
Gib den Term der Funktion an, wenn die Funktion mit dem Streckungsfaktor $a = - \frac{1}{2}$ in Richtung der $x$ -Achse gestreckt wird. Welche Besonderheit ergibt sich aus dem Streckungsfaktor?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen stauchen und strecken
$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2$
Streckungsfaktor $a = - \frac{1}{2}$
$g (x)$ $=$ $f (\frac{x}{a})$
↓
Setze für $a$ $- \frac{1}{2}$ ein.
$g (x)$ $=$ $f (\frac{x}{- \frac{1}{2}})$
$g (x)$ $=$ $f (- 2 x)$
↓
Berechne $f (- 2 x)$ .
$g (x)$ $=$ ${(- 2 x)}^{3} + 2 {(- 2 x)}^{2} - 2$
↓
Rechne die Klammern aus.
$g (x)$ $=$ $- 8 x^{3} + 8 x^{2} - 2$
Da $| a | < 1$ ist wird der Graph gestaucht und weil a negativ ist, wird der Graph zusätzlich an der $y$ -Achse gespiegelt.
Der Graph $G_{f}$ der Ausgangsfunktion $f$ ist $rot$ eingezeichnet und der gestauchte Graph $G_{g}$ der neuen Funktion $g$ schwarz.
Der Term des gestauchten Graphen lautet
$g (x) = - 8 x^{3} + 8 x^{2} - 2$
6
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 4 x^{3} - 1$
Gib den Term an, der zu derjenigen Funktion gehört, deren Graph im Vergleich zum Graphen von f um 2 nach rechts verschoben wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Funktionsgraphen verschieben
$f (x) = 4 x^{3} - 1$
Verschiebung des Graphen um 2 nach rechts.
$g (x)$ $=$ $f (x - a)$
↓
Setze für a=2 ein.
$g (x)$ $=$ $f (x - 2)$
$g (x)$ $=$ $4 {(x - 2)}^{3} - 1$
↓
Rechne die Klammer aus.
$\begin{array}{ll} g (x) & = 4 (x^{2} - 4 x + 4) (x - 2) - 1 \\ = 4 (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} + 8 x - 8) - 1 \\ = 4 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 \\ = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 32 - 1 \\ = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 33 \end{array}$
Der Term des um 2 nach rechts verschobenen Graphen lautet
$g (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 33$
Der Graph $G_{f}$ der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph $G_{g}$ der neuen Funktion g schwarz.
7
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{4} + 3 x^{3}$
Gib den Term an, der zu derjenigen Funktion gehört, deren Graph im Vergleich zum Graphen von f um 1 nach unten verschoben wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
$f (x) = x^{4} + 3 x^{3}$
Verschiebung des Graphen um 1 nach unten.
$g (x) = f (x) - a$
Setzt für $a = 1$ ein.
$g (x) = f (x) - 1 = x^{4} + 3 x^{3} - 1$
Der Term des um 1 nach unten verschobenen Graphen lautet
$g (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 1$
Der Graph der Ausgangsfunktion f ist rot eingezeichnet und der verschobene Graph der neuen Funktion g ist schwarz.
8
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ .
1. Führe nacheinander die folgenden Transformationen durch:
  Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben
  Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
  Spiegelung an der x-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben
  $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2 \overset{\overset{}{Verschiebung um 3-Einheiten in y-Richtung nach oben}}{\to} f_{1} (x) = 2 x^{2} + 3 x + 5$
  Man erhält die Funktion $f_{1}$ .
  Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
  $f_{1} (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 2-Einheiten in x-Richtung nach links}}{\to} f_{2} (x) = 2 (x + 2)^{2} + 3 (x + 2) + 5$
  Man erhält die Funktion $f_{2}$ .
  Spiegelung an der x-Achse
  $f_{2} (x) \overset{\overset{}{Spiegelung an der x-Achse}}{\to} f_{3} (x) = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) - 5$
  Man erhält die Funktion $f_{3} = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) - 5 = - 2 x^{2} - 11 x - 19$ .
  Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Drei Transformationen
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  Führe mit der gegebenen Funktion die drei Transformationen in der gegebenen Reihenfolge durch.
2. Ändert sich das Endergebnis (Funktionsterm), wenn die Reihenfolge der Transformationen geändert wird?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Wähle eine andere Reihenfolge für die Durchführung der Transformationen.
  Die Reihenfolge ist nun z.B. folgende:
  Spiegelung an der x-Achse
  Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben
  Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
  Die Funktion $g (x) = f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ wird transformiert:
  Spiegelung an der x-Achse $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2 \overset{\overset{}{Spiegelung an der x-Achse}}{\to} g_{1} (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 2$
  Man erhält die Funktion $g_{1}$ .
  Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben $g_{1} (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 3-Einheiten in y-Richtung nach oben}}{\to} g_{2} (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 2 + 3$
  Man erhält die Funktion $g_{2}$ .
  Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
  $g_{2} (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 2-Einheiten in x-Richtung nach links}}{\to} g_{3} (x) = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) + 1$
  Man erhält die Funktion $g_{3} (x) = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) + 1 = - 2 x^{2} - 11 x - 13$ .
  Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Vergleicht man die beiden Funktionsterme für das Ergebnis aus drei Transformationen aus Aufgabe a) und b), sieht man, dass die Funktionsterme unterschiedlich sind.
  $a) \leftrightarrow b)$
  $f_{3} (x) = - 2 x^{2} - 11 x - 19 \leftrightarrow g_{3} (x) = - 2 x^{2} - 11 x - 13$
  Lässt man sich die Graphen der transformierten Funktionen anzeigen, dann sieht man, dass die $lilafarbigen$ Graphen unterschiedlich sind.
  Demnach ist die Reihenfolge dieser drei Transformationen nicht vertauschbar.
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  Wähle eine andere Reihenfolge für die Transformationen und vergleiche Dein Ergebnis mit dem der Aufgabe a).
9
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 5$ .
1. Führe nacheinander die folgenden Transformationen durch:
  Verschiebung um $4$ -Einheiten in x-Richtung nach rechts
  Streckung mit dem Faktor $2,5$ in y-Richtung
  Spiegelung an der y-Achse
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Verschiebung um $4$ -Einheiten in x-Richtung nach rechts
  $f (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 4-Einheiten in x-Richtung nach rechts}}{\to} f_{1} (x) = 4 (x - 4)^{2} - 3 (x - 4) + 5$
  Man erhält die Funktion $f_{1}$ .
  Streckung mit dem Faktor $2,5$ in y-Richtung
  $f_{1} (x) \overset{\overset{}{Streckung mit dem Faktor 2,5 in y-Richtung}}{\to} f_{2} (x) = 2,5 \cdot (4 (x - 4)^{2} - 3 (x - 4) + 5)$
  Man erhält die Funktion $f_{2} (x) = 10 (x - 4)^{2} - 7,5 (x - 4) + 12,5$ .
  Spiegelung an der y-Achse
  $f_{2} (x) \overset{\overset{}{Spiegelung an der y-Achse}}{\to} f_{3} (x) = 10 (- x - 4)^{2} - 7,5 (- x - 4) + 12,5$
  Man erhält die Funktion:
  $f_{3} (x) = 10 (x + 4)^{2} + 7,5 (x + 4) + 12,5 = 10 x^{2} + 87,5 x + 202,5$
  Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  drei Transformationen
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2. Ändert sich das Endergebnis (Funktionsterm), wenn die Reihenfolge der Transformationen geändert wird?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Wähle eine andere Reihenfolge für die Durchführung der Transformationen.
  Die Reihenfolge ist nun z.B. folgende:
  Spiegelung an der y-Achse
  Streckung mit dem Faktor $2,5$ in y-Richtung
  Verschiebung um $4$ -Einheiten in x-Richtung nach rechts
  Die Funktion $g (x) = f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 5$ wird transformiert:
  Spiegelung an der y-Achse
  $g (x) \overset{\overset{}{Spiegelung an der y-Achse}}{\to} g_{1} (x) = 4 (- x)^{2} - 3 (- x) + 5$
  Man erhält die Funktion $g_{1} (x) = 4 x^{2} + 3 x + 5$ .
  Streckung mit dem Faktor $2,5$ in y-Richtung
  $g_{1} (x) \overset{\overset{}{Streckung mit dem Faktor 2,5 in y-Richtung}}{\to} g_{2} (x) = 2,5 \cdot (4 x^{2} + 3 x + 5)$
  Man erhält die Funktion $g_{2} (x) = 10 x^{2} + 7,5 x + 12,5$ .
  Verschiebung um $4$ -Einheiten in x-Richtung nach rechts
  $g_{2} (x) \overset{\overset{}{Um 4-Einheiten in x-Richtung nach rechts}}{\to} g_{3} (x) = 10 (x - 4)^{2} + 7,5 (x - 4) + 12,5$
  Man erhält die Funktion:
  $g_{3} (x) = 10 (x - 4)^{2} + 7,5 (x - 4) + 12,5 = 10 x^{2} - 72,5 x + 142,5$
  Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Vergleicht man die beiden Funktionsterme für das Ergebnis aus drei Transformationen aus Aufgabe a) und b), sieht man, dass die Funktionsterme unterschiedlich sind.
  $a) \leftrightarrow b)$
  $f_{3} (x) = 10 x^{2} + 87,5 x + 202,5 \leftrightarrow g_{3} (x) = 10 x^{2} - 72,5 x + 142,5$
  Lässt man sich die Graphen der einzelnen Funktionen anzeigen, dann sieht man, dass die $lilafarbigen$ Graphen unterschiedlich sind.
  Demnach ist die Reihenfolge dieser drei Transformationen nicht vertauschbar.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$g (x)$	$=$	$f (\frac{x}{a})$
	↓	Setze $a = 4$ ein.
	$=$	$f (\frac{x}{4})$
	$=$	$\frac{1}{(\frac{x}{4}) 2 - 1}$
	↓	Rechne die Klammer aus.
	$=$	$\frac{1}{\frac{x^{2}}{16} - 1}$
	$=$	$\frac{1}{\frac{x^{2} - 16}{16}}$
	↓	Berechne den Bruch.
	$=$	$\frac{16}{x^{2} - 16}$

$g (x)$	$=$	$f (\frac{x}{a})$
	↓	Setze für $a$ $- \frac{1}{2}$ ein.
$g (x)$	$=$	$f (\frac{x}{- \frac{1}{2}})$
$g (x)$	$=$	$f (- 2 x)$
	↓	Berechne $f (- 2 x)$ .
$g (x)$	$=$	${(- 2 x)}^{3} + 2 {(- 2 x)}^{2} - 2$
	↓	Rechne die Klammern aus.
$g (x)$	$=$	$- 8 x^{3} + 8 x^{2} - 2$

$g (x)$	$=$	$f (x - a)$
	↓	Setze für a=2 ein.
$g (x)$	$=$	$f (x - 2)$
$g (x)$	$=$	$4 {(x - 2)}^{3} - 1$
	↓	Rechne die Klammer aus.

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Funktionsgraphen strecken und stauchen

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