Transformationen von Funktionen

Verschiebung in Richtung der x-Achse

Wird eine Funktion $f$ transformiert, dann wird sie in eine neue Funktion $g$ umgewandelt.

Mögliche Transformationen sind:

Verschieben
Skalieren
Spiegeln
Kombinationen von Transformationen

Übersicht

Transformation	Ergebnis: Der Graph $G_g$ geht aus dem Graphen $G_f$ hervor, durch	Beispiel
$g(x)=f(x)+a$	Verschiebung um $\|a\|$ -Einheiten in y-Richtung nach oben, für $a>0$ . Verschiebung um $\|a\|$ -Einheiten in y-Richtung nach unten, für $a<0$ .	Verschiebung in Richtung der y-Achse
$g(x)=f(x+a)$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$	Verschiebung um $\|a\|$ -Einheiten in x-Richtung nach links, für $a>0$ . Verschiebung um $\|a\|$ -Einheiten in x-Richtung nach rechts, für $a<0$ .	Verschiebung in Richtung der x-Achse
$g(x)=a\cdot f(x)$ $a>0$	Skalierung in y-Richtung: Streckung für $a>1$ Stauchung für $0<a<1$	Streckung und Stauchung
$g(x)=f(a\cdot x)$ $a>0$	Skalierung in x-Richtung: Streckung mit Faktor $\dfrac{1}{a}$ , für $0<a<1$ Stauchung mit Faktor $\dfrac{1}{a}$ , für $a>1$	Skalierung in x-Richtung
$g(x)=-f(x)$	Spiegelung an der x-Achse	Spiegelung an der x-Achse
$g(x)=f(-x)$	Spiegelung an der y-Achse	Spiegelung an der y-Achse
$g(x)=-f(-x)$	Spiegelung am Koordinatenursprung	Spiegelung am Koordinatenursprung

Im folgenden Applet kann man sich die Wirkung von fünf verschiedenen Transformationen auf die Funktion $f(x)=x^4-4x^2$ ansehen. Verschiebe dazu die entsprechenden Schieberegler. Beim Klick auf das Kästchen $s$ wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt.

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Kombinationen von Transformationen

Es können mehrere Transformationen nacheinander ausgeführt werden. Zu beachten ist dabei die Reihenfolge der durchgeführten Transformationen. Bei einigen Transformationen entsteht ein anderer Funktionsterm, wenn die Reihenfolge vertauscht wird.

BeachteReihenfolge der Transformationen

Beachte bei einer Aufgabenstellung, dass die geforderten Transformationen in der angegebenen Reihenfolge durchgeführt werden müssen.

Beachtet man die Reihenfolge nicht, kann sich unter Umständen ein ganz anderer Funktionsterm ergeben.

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse bei Vertauschung der Reihenfolge.

	$g(x)=f(x)+a$ $~~~~~~~~~~~~~~~$	$g(x)=f(x+a)$ $~~~~~~~~~~~~~~~$	$g(x)=a\cdot f(x)$	$g(x)=f(a\cdot x)$	$g(x)=-f(x)$	$g(x)=f(-x)$	$g(x)=-f(-x)$
$g(x)=f(x)+a$ $~~~~~~~~~~~~~~~$	-----------	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten
$g(x)=f(x+a)$	Reihen-folge egal	-----------	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten	Reihen-folge beachten
$g(x)=a\cdot f(x)$	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	----------	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal
$g(x)=f(a\cdot x)$	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	----------	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal
$g(x)=-f(x)$	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	----------	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal
$g(x)=f(-x)$	Reihen-folge egal	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	----------	Reihen-folge egal
$g(x)=-f(-x)$	Reihen-folge beachten	Reihen-folge beachten	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	Reihen-folge egal	-----------

Führt man z.B. drei oder mehr Transformationen hintereinander aus, dann kann anhand der Tabelle geprüft werden, ob die Reihenfolge egal ist oder ob die Reihenfolge beachtet werden muss.

Beispiel 1:

Es werden die folgenden drei Transformationen durchgeführt:

$\mathrm{(I)}\;g(x)=a\cdot f( x)\qquad\mathrm{(II)}\;g(x)=f(a\cdot x)\qquad\mathrm{(III)}\;g(x)=f(-x)$

Prüfe anhand der Tabelle:

$\mathrm{(I)}$ mit $\mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;$ Reihenfolge egal

$\mathrm{(I)}$ mit $\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;$ Reihenfolge egal

$\mathrm{(II)}$ mit $\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;$ Reihenfolge egal

In diesem Fall spielt also die Reihenfolge der Transformationen keine Rolle.

Beispiel 2:

Es werden die folgenden drei Transformationen durchgeführt:

$\mathrm{(I)}\;g(x)= f(x)+a\qquad\mathrm{(II)}\;g(x)=f(a\cdot x)\qquad\mathrm{(III)}\;g(x)=-f(x)$

Prüfe anhand der Tabelle:

$\mathrm{(I)}$ mit $\mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;$ Reihenfolge egal

$\mathrm{(I)}$ mit $\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;$ Reihenfolge beachten

$\mathrm{(II)}$ mit $\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;$ Reihenfolge egal

In diesem Fall spielt also die Reihenfolge der Transformationen eine Rolle.

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