Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Prüfe: $\sin (x+y)=\sin (x)+\sin (y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin (x+y)$ und $\sin (x)+\sin (y)$ an beispielsweise $x=y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$ und

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin (\pi )=0$

Damit ist $\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})\ne \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$

Und daher im Allgemeinen: $\sin (x+y)\ne \sin (x)+\sin (y)$

Beachte, dass es durchaus Stellen $x,y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x=y=0$, denn es ist $\sin (0)=0$. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

Prüfe: $\cos (x)+\cos (y)=\cos (x+y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos (x+y)$ und $\cos (x)+\cos (y)$ an beispielsweise $x=y=0$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\cos (0)+\cos (0)=2$

$\cos (0+0)=\cos (0)=1$

Damit ist allgemein $\cos (x)+\cos (y)\ne \cos (x+y).$

Gegeben:

${\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)=1$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.

${\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)={\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)$

Subtrahiere auf beiden Seiten ${\sin }^2(x)$ und addiere auf beiden Seiten ${\cos }^2(x)$.

$2\cdot {\cos }^2(x)=0$

Teile durch $2$ und ziehe die Wurzel.

$\cos (x)=0$

Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen $0$ und $2\pi$ hat.

$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ oder $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

$(1-\cos (x))(1+\cos (x))=\sin (x)$

Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.

$1-{\cos }^2(x)=\sin (x)$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras.

${\sin }^2(x)=\sin (x)$

Bringe $\sin (x)$ auf die andere Seite und klammere dann $\sin (x)$ aus.

$\sin (x)(\sin (x)-1)=0$

Diese Gleichung ist erfüllt, falls $\sin (x)=0$ oder $\sin (x)-1=0$.

• $\sin (x)=0$, falls $x=0$ oder $x=\pi$ oder $x=2\pi$

• $\sin (x)=1$, falls $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.

$L=\{0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ,2\pi \}$

$(1-\sin (x))(1+\sin (x))={\cos }^2(x)$

Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.

$1-{\sin }^2(x)={\cos }^2(x)$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen ${\sin }^2(x)$.

$1={\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)$

Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle $x$ erfüllt ist.

$x\in [\mathrm{0,2}\pi ]$

Gegeben:

${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=2$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras: ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=2$

Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck "$1=2$", welcher jedoch nie erfüllt ist.

Lösungsmenge $L=\{\}$

Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."