Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Wie gut kennst du dich aus? Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen zu den trigonometrischen Funktionen mit diesen Aufgaben!

1
Berechne ohne Taschenrechner:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Funktionen
Berechne $\sin \left( \frac{5\pi}{2} \right)$ . Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode $2\pi$ .
$\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\tan\left(1-\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right)$
$=\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) + \tan\left(1 - \sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right)\right)$
$=\sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\tan\left(1-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$
Berechne $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$ und $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ .Die Werte von $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ und $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$ kannst du dir leicht merken. Deswegen brauchst du dafür keinen Taschenrechner.Als Hilfe kannst du dir den Graphen zu den Funktionen anschauen.
Daraus kannst du ablesen:
$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
Diese Werte setzt du in den Term ein.
$...=\ \sin\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\tan\left(1-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$
$=\sin\left(0\right) + \tan\left(1 - 1\right)$
$=\sin\left(0\right)+\tan\left(0\right)$
Benutze nun die Definition der Tangensfunktion: $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .
$...=\sin\left(0\right)+\tan\left(0\right)$
$= \sin(0) + \frac{\sin(0)}{\cos(0)}$
Setze die Funktionswerte ein. Zur Hilfe kannst du wieder den Graphen betrachten.
$...=\sin(0)+\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=0+\frac{0}{1}=0$
Also:

Berechne den Winkel $\alpha$ im Intervall $[0,\pi]$ . Gib dein Ergebnis im Gradmaß an:

\displaystyle 1\;+\;3\cdot\sin^2(\alpha)=1+\cos^2\left(\alpha\right)

3
Es ist $\cos(2)\approx-0{,}42$ . Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Periode einer Funktion
Gegeben: $\cos(2) \approx -0{,}42$
Gesucht: Weitere Stellen $a,b,c$ mit $\cos(a)=\cos(b)=\cos(c)=\cos(2)$
Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.
Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle $2\pi$ wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode $2\pi$ .
Da der Kosinus Periode $2 \pi$ hat, gilt allgemein
für jede Stelle $x$ und damit
Daher findet man weitere Stellen $a,b,c$ zum Beispiel mit
Alternative Lösung
Jetzt beschreiben wir eine andere Möglichkeit, wie du die Aufgabe lösen kannst.
Hierfür benötigst Du zusätzlich folgendes Grundwissen:
Kosinus ist eine gerade Funktion
Bisher haben wir den Punkt $A$ mit den Koordinaten $\left(2,\cos\left(2\right)\right)$ .
Wir wissen, dass $\cos\left(x-2\pi\right)=\cos\left(x\right)$ ist.
Daher können wir $a=2-2\pi$ nehmen, da der Kosinus dort denselben Wert hat (Punkt $D$ ).
Wie man in der Skizze sieht, ist der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Daher erhalten wir die Punkte $C$ als Spiegelpunkt zu $A$ mit $b=-2\$ und $B$ als Spiegelpunkt zu $D$ mit $c=2\ \pi-2$ als weitere Lösungen.
4
Prüfe, ob folgende Gleichungen für jede Stelle $x$ gelten:
1. $\sin(x)+\sin(y)=\sin(x+y)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion
  Prüfe: $\sin(x+y)=\sin(x)+\sin(y)$
  Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin(x+y)$ und $\sin(x)+\sin(y)$ an beispielsweise $x=y=\dfrac{\pi}{2}$ . Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
  $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 1$ und
  $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin(\pi)=0$
  Damit ist $\sin \left( \frac \pi 2 + \frac \pi 2 \right) \neq \sin \left( \frac \pi 2 \right) + \sin \left( \frac \pi 2 \right)$
  Und daher im Allgemeinen: $\sin(x+y)\neq \sin(x)+\sin(y)$
  Beachte, dass es durchaus Stellen $x,y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x=y=0$ , denn es ist $\sin(0)=0$ . Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.
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2. $\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion
  Prüfe: $\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)$
  Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos(x+y)$ und $\cos(x)+\cos(y)$ an beispielsweise $x=y=0$ . Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
  $\cos(0)+\cos(0)=2$
  $\cos(0+0)=\cos(0)=1$
  Damit ist allgemein $\cos(x)+\cos(y) \neq \cos(x+y).$
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Finde Beispiele für Phänomene in der Realität, die sich durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben lassen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Im allgemeinen lassen sich Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben. Das können zum Beispiel Wasserwellen, Schallwellen, Elektromagnetische Wellen sein. Das heißt, dass diese Funktionen vorallem in der Physik ihre Anwendung finden.
6
Prüfe, für welche $x$ im Intervall zwischen $0$ und $2\pi$ die folgenden Gleichungen gelten:
Hinweis: Verwende den trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ .
1. $\sin^2(x)-\cos^2(x)=1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  Gegeben:
  $\sin^2(x)-\cos^2(x)=1$
  Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.
  $\sin^2(x)-\cos^2(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)$
  Subtrahiere auf beiden Seiten $\sin^2(x)$ und addiere auf beiden Seiten $\cos^2(x)$ .
  $2 \cdot \cos^2(x) = 0$
  Teile durch $2$ und ziehe die Wurzel.
  $\cos(x)=0$
  Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen $0$ und $2 \pi$ hat.
  $x = \dfrac{\pi}{2}$ oder $x=\dfrac{3\pi}{2}$
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2. $\left(1-\cos(x)\right) \left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  $\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)$
  Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.
  $1-\cos^2(x) = \sin(x)$
  Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
  $\sin^2(x)=\sin(x)$
  Bringe $\sin(x)$ auf die andere Seite und klammere dann $\sin(x)$ aus.
  $\sin(x) \left( \sin(x) - 1 \right) = 0$
  Diese Gleichung ist erfüllt, falls $\sin(x)=0$ oder $\sin(x)-1=0$ .
  $\sin(x)=0$ , falls $x=0$ oder $x=\pi$ oder $x=2\pi$
  $\sin(x)=1$ , falls $x=\dfrac{\pi}{2}$
  Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.
  $L=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \right\}$
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3. $(1+\sin(x))(1-\sin(x))=\cos^2(x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  $(1-\sin(x))(1+\sin(x))=\cos^2(x)$
  Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.
  $1-\sin^2(x) = \cos^2(x)$
  Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen $\sin^2(x)$ .
  $1=\sin^2(x)+\cos^2(x)$
  Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle $x$ erfüllt ist.
  $x \in [0{,}2\pi]$
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4. $\cos^2(x)+\sin^2(x)=2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
  Gegeben:
  $\cos^2(x)+\sin^2(x)=2$
  Verwende den trigonometrischen Pythagoras: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=2$
  Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck " $1=2$ ", welcher jedoch nie erfüllt ist.
  Lösungsmenge $L=\{ \}$
  Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."
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Entscheide, ob die folgenden Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen richtig oder falsch sind.
1. $\cos(90°-\alpha)=\sin(\alpha)$
  Richtig
  Falsch
2. $\sin(\alpha+180°) = -\sin(\alpha)$
  Richtig
  Falsch
8
Vereinfache den folgenden Term, bis nur noch $\tan(x)$ darin vorkommt:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion
Forme $\left(1-\dfrac{1}{\cos(x)}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos(x)}\right)$ um.
Verwende die dritte binomische Formel.
$= 1-\dfrac{1}{\cos^2(x)}$
Bilde den Hauptnenner und führe die Brüche zusammen.
$=\dfrac{\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)}$
Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
$=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
Verwende die Definition des Tangens.
$=(\tan(x))^2$

Löse für $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ die folgende Gleichung nach $x$ auf:

\displaystyle 1\;+\;3\cdot\sin^2(\alpha)=1+\cos^2\left(\alpha\right)

Löse für $x \in \left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[$ die folgende Gleichung nach $x$ auf:

$(\tan(x))^3+2\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion

$\displaystyle (\tan(x))^3+2\tan(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$
	↓	Verwende, dass $\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}=\dfrac{\tan(x)}{\cos^2(x)}$ und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.
$\displaystyle (\tan(x))^3+2\tan(x)-\frac{\tan(x)}{\cos^2(x)}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $\tan(x)$ aus.
$\displaystyle \tan(x)\left(\tan(x)^2+2-\frac{1}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende, dass $\tan(x)^2=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ .
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+2-\frac{1}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die $1$ um.
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\sin^2x-\cos^2x}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Kürze.
$\displaystyle \tan(x)\cdot1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Betrachte die Skizze des Tangens, um zu bestimmen, wann der Tangens in dem gegebenen Intervall $0$ ist.

Lösung: $x=\pi$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 1+3\cdot\cos^2(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 1+\sin^2(\alpha)$	$\displaystyle -\sin^2\left(\alpha\right)$
	↓	Bringe Sinus und Kosinus auf eine Seite.
$\displaystyle 1+3\cdot\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Nach Betrachten des Terms, entdeckst du, dass du den trigonometrischen Pythagoras anwenden kannst.
$\displaystyle 1-\sin^2(\alpha)+3\cdot\cos^2(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
$\displaystyle \cos^2(\alpha)+3\cdot\cos^2(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 4\cdot\cos^2(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \cos^2(\alpha)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{4}}$
$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{1}{2}$

$\displaystyle \tan\left(x\right)+\sin\left(x\right)^{ }$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die Definition des Tangens.
$\displaystyle \dfrac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}+\sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere sin(x) aus.
$\displaystyle \sin\left(x\right)\left(\dfrac{1}{\cos\left(x\right)}+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Das Produkt ist $0$ , falls einer der beiden Faktoren $0$ ist.
$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	oder
$\displaystyle \dfrac{1}{\cos\left(x\right)}+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Forme die zweite Gleichung um, indem du beiden Seiten mit $-1$ subtrahierst und mit $\cos(x)$ multiplizierst.
$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	oder
$\displaystyle -\cos\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten der zweiten Gleichung mit $(-1)$ .
$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	oder
$\displaystyle \cos\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Betrachte die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion zur Bestimmung der $x$ -Werte in dem vorgeschriebenen Intervall.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$