Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Prüfe: $\sin (x+y)=\sin (x)+\sin (y)\backslash sin(x+y)=\backslash sin(x)+\backslash sin(y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin (x+y)\backslash sin(x+y)$ und $\sin (x)+\sin (y)\backslash sin(x)+\backslash sin(y)$ an beispielsweise $x=y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x=y=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1\backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; 1$ und

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin (\pi )=0\backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}+\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)=\backslash sin(\backslash pi)=0$

Damit ist $\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})\mathrm{\ne }\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; +\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash right)\; \backslash neq\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash right)\; +\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash right)$

Und daher im Allgemeinen: $\sin (x+y)\mathrm{\ne }\sin (x)+\sin (y)\backslash sin(x+y)\backslash neq\; \backslash sin(x)+\backslash sin(y)$

Beachte, dass es durchaus Stellen $x,yx,y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x=y=0x=y=0$, denn es ist $\sin (0)=0\backslash sin(0)=0$. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

Prüfe: $\cos (x)+\cos (y)=\cos (x+y)\backslash cos(x)+\backslash cos(y)=\backslash cos(x+y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos (x+y)\backslash cos(x+y)$ und $\cos (x)+\cos (y)\backslash cos(x)+\backslash cos(y)$ an beispielsweise $x=y=0x=y=0$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\cos (0)+\cos (0)=2\backslash cos(0)+\backslash cos(0)=2$

$\cos (0+0)=\cos (0)=1\backslash cos(0+0)=\backslash cos(0)=1$

Damit ist allgemein $\cos (x)+\cos (y)\mathrm{\ne }\cos (x+y)\mathrm{.}\backslash cos(x)+\backslash cos(y)\; \backslash neq\; \backslash cos(x+y).$

Gegeben:

${\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)=1\backslash sin^2(x)-\backslash cos^2(x)=1$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.

${\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)={\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)\backslash sin^2(x)-\backslash cos^2(x)=\backslash sin^2(x)+\backslash cos^2(x)$

Subtrahiere auf beiden Seiten ${\sin }^2(x)\backslash sin^2(x)$ und addiere auf beiden Seiten ${\cos }^2(x)\backslash cos^2(x)$.

$2\cdot {\cos }^2(x)=02\; \backslash cdot\; \backslash cos^2(x)\; =\; 0$

Teile durch $22$ und ziehe die Wurzel.

$\cos (x)=0\backslash cos(x)=0$

Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen $00$ und $2\pi 2\; \backslash pi$ hat.

$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x\; =\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$ oder $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}x=\backslash dfrac\{3\backslash pi\}\{2\}$

$(1-\cos (x))(1+\cos (x))=\sin (x)\backslash left(1-\backslash cos(x)\backslash right)\backslash left(1+\backslash cos(x)\; \backslash right)\; =\; \backslash sin(x)$

Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.

$1-{\cos }^2(x)=\sin (x)1-\backslash cos^2(x)\; =\; \backslash sin(x)$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras.

${\sin }^2(x)=\sin (x)\backslash sin^2(x)=\backslash sin(x)$

Bringe $\sin (x)\backslash sin(x)$ auf die andere Seite und klammere dann $\sin (x)\backslash sin(x)$ aus.

$\sin (x)(\sin (x)-1)=0\backslash sin(x)\; \backslash left(\; \backslash sin(x)\; -\; 1\; \backslash right)\; =\; 0$

Diese Gleichung ist erfüllt, falls $\sin (x)=0\backslash sin(x)=0$ oder $\sin (x)-1=0\backslash sin(x)-1=0$.

• $\sin (x)=0\backslash sin(x)=0$, falls $x=0x=0$ oder $x=\pi x=\backslash pi$ oder $x=2\pi x=2\backslash pi$

• $\sin (x)=1\backslash sin(x)=1$, falls $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$

Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.

$L=\{0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ,2\pi \}L=\backslash left\backslash \{0,\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\},\; \backslash pi,\; 2\backslash pi\; \backslash right\backslash \}$

$(1-\sin (x))(1+\sin (x))={\cos }^2(x)(1-\backslash sin(x))(1+\backslash sin(x))=\backslash cos^2(x)$

Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.

$1-{\sin }^2(x)={\cos }^2(x)1-\backslash sin^2(x)\; =\; \backslash cos^2(x)$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen ${\sin }^2(x)\backslash sin^2(x)$.

$1={\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)1=\backslash sin^2(x)+\backslash cos^2(x)$

Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle $xx$ erfüllt ist.

$x\in [\mathrm{0,2}\pi ]x\; \backslash in\; [0\{,\}2\backslash pi]$

Gegeben:

${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=2\backslash cos^2(x)+\backslash sin^2(x)=2$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras: ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=2\backslash sin^2(x)+\backslash cos^2(x)=2$

Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck "$1=21=2$", welcher jedoch nie erfüllt ist.

Lösungsmenge $L=\{\}L=\backslash \{\; \backslash \}$

Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."