Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Löse für $x \in \left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right[$ die folgende Gleichung nach $x$ auf:

$(\tan(x))^3+2\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion

$\displaystyle (\tan(x))^3+2\tan(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$
	↓	Verwende, dass $\dfrac{\sin(x)}{\cos^3(x)}=\dfrac{\tan(x)}{\cos^2(x)}$ und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.
$\displaystyle (\tan(x))^3+2\tan(x)-\frac{\tan(x)}{\cos^2(x)}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $\tan(x)$ aus.
$\displaystyle \tan(x)\left(\tan(x)^2+2-\frac{1}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende, dass $\tan(x)^2=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ .
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+2-\frac{1}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-1}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die $1$ um.
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\sin^2(x)+2\cos^2(x)-\sin^2x-\cos^2x}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
$\displaystyle \tan(x)\left(\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Kürze.
$\displaystyle \tan(x)\cdot1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Betrachte die Skizze des Tangens, um zu bestimmen, wann der Tangens in dem gegebenen Intervall $0$ ist.

Lösung: $x=\pi$

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