Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

…

Es ist $\cos (2) \approx - 0,42$ . Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Periode einer Funktion

Gegeben: $\cos (2) \approx - 0,42$

Gesucht: Weitere Stellen $a, b, c$ mit $\cos (a) = \cos (b) = \cos (c) = \cos (2)$

Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.

Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle $2 π$ wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode $2 π$ .

Da der Kosinus Periode $2 π$ hat, gilt allgemein

\cos (x) = \cos (x + 2 π) = \cos (x + 4 π) = \dots

für jede Stelle $x$ und damit

\cos (2) = \cos (2 + 2 π) = \cos (2 + 4 π) = \dots

Daher findet man weitere Stellen $a, b, c$ zum Beispiel mit

a = 2 + 2 π, b = 2 + 4 π, c = 2 + 6 π

Alternative Lösung

Jetzt beschreiben wir eine andere Möglichkeit, wie du die Aufgabe lösen kannst.

Hierfür benötigst Du zusätzlich folgendes Grundwissen:

Kosinus ist eine gerade Funktion

Bisher haben wir den Punkt $A$ mit den Koordinaten $(2, \cos (2))$ .

Wir wissen, dass $\cos (x - 2 π) = \cos (x)$ ist.

Daher können wir $a = 2 - 2 π$ nehmen, da der Kosinus dort denselben Wert hat (Punkt $D$ ).

Wie man in der Skizze sieht, ist der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Daher erhalten wir die Punkte $C$ als Spiegelpunkt zu $A$ mit $b = - 2$ und $B$ als Spiegelpunkt zu $D$ mit $c = 2 π - 2$ als weitere Lösungen.

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