Prüfe: $\sin (x+y)=\sin (x)+\sin (y)\backslash sin(x+y)=\backslash sin(x)+\backslash sin(y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin (x+y)\backslash sin(x+y)$ und $\sin (x)+\sin (y)\backslash sin(x)+\backslash sin(y)$ an beispielsweise $x=y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x=y=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1\backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; 1$ und

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin (\pi )=0\backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}+\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)=\backslash sin(\backslash pi)=0$

Damit ist $\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})\mathrm{\ne }\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; +\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash right)\; \backslash neq\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash right)\; +\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \backslash pi\; 2\; \backslash right)$

Und daher im Allgemeinen: $\sin (x+y)\mathrm{\ne }\sin (x)+\sin (y)\backslash sin(x+y)\backslash neq\; \backslash sin(x)+\backslash sin(y)$

Beachte, dass es durchaus Stellen $x,yx,y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x=y=0x=y=0$, denn es ist $\sin (0)=0\backslash sin(0)=0$. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

Prüfe: $\cos (x)+\cos (y)=\cos (x+y)\backslash cos(x)+\backslash cos(y)=\backslash cos(x+y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos (x+y)\backslash cos(x+y)$ und $\cos (x)+\cos (y)\backslash cos(x)+\backslash cos(y)$ an beispielsweise $x=y=0x=y=0$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\cos (0)+\cos (0)=2\backslash cos(0)+\backslash cos(0)=2$

$\cos (0+0)=\cos (0)=1\backslash cos(0+0)=\backslash cos(0)=1$

Damit ist allgemein $\cos (x)+\cos (y)\mathrm{\ne }\cos (x+y)\mathrm{.}\backslash cos(x)+\backslash cos(y)\; \backslash neq\; \backslash cos(x+y).$