Prüfe: $\sin(x+y)=\sin(x)+\sin(y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin(x+y)$ und $\sin(x)+\sin(y)$ an beispielsweise $x=y=\dfrac{\pi}{2}$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 1$ und

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin(\pi)=0$

Damit ist $\sin \left( \frac \pi 2 + \frac \pi 2 \right) \neq \sin \left( \frac \pi 2 \right) + \sin \left( \frac \pi 2 \right)$

Und daher im Allgemeinen: $\sin(x+y)\neq \sin(x)+\sin(y)$

Beachte, dass es durchaus Stellen $x,y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x=y=0$, denn es ist $\sin(0)=0$. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

Prüfe: $\cos(x)+\cos(y)=\cos(x+y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos(x+y)$ und $\cos(x)+\cos(y)$ an beispielsweise $x=y=0$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\cos(0)+\cos(0)=2$

$\cos(0+0)=\cos(0)=1$

Damit ist allgemein $\cos(x)+\cos(y) \neq \cos(x+y).$