Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

Allgemeine Form

Sinus: $\displaystyle{f(x) = a \cdot \sin \big(b \cdot(x + c)\big) + d}$

Kosinus: $\displaystyle{f(x) = a \cdot \cos \big(b \cdot(x + c)\big) + d}$

Die reellen Parameter $a,b,c,d$ bestimmen, wie der Graph genau verändert wird.

Bemerkung: Nicht nur trigonometrische Funktionen lassen sich so verändern. Unter den folgenden Links findest du, wie man den Graphen einer beliebigen Funktion verschiebt oder staucht, oder streckt.

Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen

Beobachtung an Beispielen

1. Betrachte $f(x)=\sin(2\cdot x)+1.$

Im Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter $d$ und $b$ verändert:

1. Zunächst wird $d$ vom Startwert $0$ beginnend bis zum Endwert $1$ verändert. Währenddessen verschiebt sich der Funktionsgraph um $1$ in $y$-Richtung nach oben. Beim Endwert $d=1$ hat die Funktion die Ruhelage $y=1$. $\Rightarrow d$ verändert also die Ruhelage der Funktion.

2. Danach wird $b$ vom Startwert $1$ beginnend bis zum Endwert $2$ verändert. Währenddessen staucht sich der Funktionsgraph in $x$-Richtung zusammen; die Wellenberge und Wellentäler rücken enger aneinander, die Periode der Funktion wird kleiner. Beim Endwert $b=2$ ist die Periode nur noch $\pi$ statt $2\pi$. $\Rightarrow b$ verändert also die Periode der Funktion.

2. Betrachte $g(x)=2\cdot\cos(x-1).$

Auch an diesem Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter $a$ und $c$ verändert:

1. Zuerst wird $c$ vom Startwert $0$ beginnend auf den Wert $-1$ verändert. Dabei verschiebt sich der Funktionsgraph in $x$-Richtung um den Wert $1$ nach rechts. $\Rightarrow c$ verändert also die Lage des Funktionsgraphen in $x$-Richtung.

2. Danach wird $a$ vom Startwert $1$ beginnend bis zum Endwert $2$ verändert. Dabei wird der Funktionsgraph in $y$-Richtung gestreckt. $\Rightarrow a$ verändert also die Amplitude der Funktion.

Überblick über den Einfluss der Parameter

Parameter $a$

Parameter $b$

Parameter $c$

Parameter $d$

Zum Ausprobieren im Applet

Die beschriebenen Zusammenhänge sind in folgendem Applet veranschaulicht:

$\color{#cc0000}{a\cdot\sin(b(x+c))+d}$

$\color{#009999}{a\cdot\cos(b(x+c))+d}$

In diesen beiden nachfolgenden Bildern in den Übungsaufgaben siehst du jeweils einen Funktionsgraphen.

Gesucht ist jedes Mal eine Funktionsgleichung, die dazu passt.