Komplementbeziehungen sin ( 90 ° − α ) = Gegenkathete Hypotenuse = b c \displaystyle \sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c} sin ( 90° − α ) = Hypotenuse Gegenkathete = c b cos ( α ) = Ankathete Hypotenuse = b c . \displaystyle \cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}. cos ( α ) = Hypotenuse Ankathete = c b . Deshalb ist sin ( 90 ° − α ) = cos ( α ) \;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha) sin ( 90° − α ) = cos ( α )
Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.
Beispiel Mit der Komplementbeziehung kannst du cos ( α ) \cos(\alpha) cos ( α ) sin ( 90 ° − α ) \sin(90°-\alpha) sin ( 90° − α )
cos ( α ) = sin ( 90 ° − α ) \displaystyle \cos(\alpha)=\sin(90°-\alpha) cos ( α ) = sin ( 90° − α ) Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.
sin ( 90 ° − α ) = sin ( β ) \displaystyle \sin(90°-\alpha)=\sin(\beta) sin ( 90° − α ) = sin ( β ) Füge den Wert von β \beta β 2 2 2
sin ( β ) = sin ( 40 ° ) ≈ 0 , 59. \sin(\beta)=\sin(40°)\approx0{,}59. sin ( β ) = sin ( 40° ) ≈ 0 , 59.
Deshalb ist cos ( α ) ≈ 0 , 59. \cos(\alpha)\approx0{,}59. cos ( α ) ≈ 0 , 59.
Supplementbeziehungen sin ( 180 ° + α ) = − sin ( α ) \sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha) sin ( 180° + α ) = − sin ( α )
cos ( 18 0 ∘ + α ) = − cos ( α ) \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha) cos ( 18 0 ∘ + α ) = − cos ( α )
tan ( 18 0 ∘ + α ) = + tan ( α ) \tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha) tan ( 18 0 ∘ + α ) = + tan ( α )
sin ( 180 ° − α ) = + sin ( α ) \sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha) sin ( 180° − α ) = + sin ( α )
cos ( 180 ° − α ) = − cos ( α ) \cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha) cos ( 180° − α ) = − cos ( α )
tan ( 18 0 ∘ − α ) = − tan ( α ) \tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha) tan ( 18 0 ∘ − α ) = − tan ( α )
sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin ( α ) \sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha) sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin ( α )
cos ( 36 0 ∘ − α ) = + cos ( α ) \cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha) cos ( 36 0 ∘ − α ) = + cos ( α )
tan ( 36 0 ∘ − α ) = − tan ( α ) \tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha) tan ( 36 0 ∘ − α ) = − tan ( α )
Veranschaulichung sin ( 180 ° + α ) = − sin ( α ) \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\; sin ( 180° + α ) = − sin ( α ) cos ( 180 ° + α ) = − cos ( α ) \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\; cos ( 180° + α ) = − cos ( α )
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