Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck $\sf \beta=90°-\alpha$ .

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Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:

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\displaystyle \sf \sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}

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\displaystyle \sf \sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}

Deshalb ist $\sf \;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha)$ .

Die anderen Gleichungen lassen auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne $\sf \cos(\alpha)$ auf die gleiche Weise wie oben.

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Mit der Komplementbeziehung kannst du $\sf \cos(\alpha)$ mit $\sf \sin(90°-\alpha)$ gleichsetzen.

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\displaystyle \sf \sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

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\displaystyle \sf \sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}

Füge den Wert von $\sf \beta$ ein, berechne das Ergebnis und runde es auf $\sf 2$ Dezimalstellen.

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\displaystyle \sf \sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}

Deshalb ist $\sf \cos(\alpha)\approx0{,}59.$

Supplementbeziehungen

Sinus	Kosinus	Tangens

Veranschaulichung

$\sf \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\;$ und $\sf \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\;$ lassen sich hier testen:

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