Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.
Komplementbeziehungen
- %%\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)%%
- %%\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)%%
- %%\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}%%
Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck %%\beta=90°-\alpha%%.
Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:
$$\sin(90°-\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}$$
$$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}.$$
Deshalb ist %%\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha)%%.
Die anderen Gleichungen lassen auf gleiche Weise erklären.
Beispiel
Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne %%\cos(\alpha)%% auf die gleiche Weise wie oben.
Mit der Komplementbeziehung kannst du %%\cos(\alpha)%% mit %%\sin(90°-\alpha)%% gleichsetzen.
%%\cos(\alpha)=\sin(90°-\alpha)%%
Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.
%%\sin(90°-\alpha)=\sin(\beta)%%
Füge den Wert von %%\beta%% ein, berechne das Ergebnis und runde es auf %%2%% Dezimalstellen.
%%\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0,59.%%
Deshalb ist %%\cos(\alpha)\approx0,59.%%
Supplementbeziehungen
Sinus |
Kosinus |
Tangens |
|---|---|---|
%%\sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha)%% |
%%\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)%% |
%%\tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha)%% |
%%\sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha)%% |
%%\cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha)%% |
%%\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)%% |
%%\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)%% |
%%\cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)%% |
%%\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)%% |
Veranschaulichung
%%\sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\;%% und %%\;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\;%% lassen sich hier testen:
