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Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

Dreieck
  • sin(90α)=cos(α)\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)

  • cos(90α)=sin(α)\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)

  • tan(90α)=1tan(α)\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck β=90°α\beta=90°-\alpha.

Deshalb ist   sin(90°α)=cos(α)\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha).

Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Dreieck

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne cos(α)\cos(\alpha) auf die gleiche Weise wie oben.

Mit der Komplementbeziehung kannst du cos(α)\cos(\alpha) mit sin(90°α)\sin(90°-\alpha) gleichsetzen.

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

Füge den Wert von β\beta ein, berechne das Ergebnis und runde es auf 22 Dezimalstellen.

sin(β)=sin(40°)0,59.\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0{,}59.

Deshalb ist cos(α)0,59.\cos(\alpha)\approx0{,}59.

Supplementbeziehungen

Sinus

Kosinus

Tangens

sin(180°+α)=sin(α)\sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha)

cos(180+α)=cos(α)\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)

tan(180+α)=+tan(α)\tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha)

sin(180°α)=+sin(α)\sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha)

cos(180°α)=cos(α)\cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha)

tan(180α)=tan(α)\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)

sin(360α)=sin(α)\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha)

cos(360α)=+cos(α)\cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha)

tan(360α)=tan(α)\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha)

Veranschaulichung

sin(180°+α)=sin(α)  \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\; und   cos(180°+α)=cos(α)  \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\; lassen sich hier testen:

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