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Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

  • sin⁡(90∘−α)=cos⁡(α)\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)

  • cos⁡(90∘−α)=sin⁡(α)\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)

  • tan⁡(90∘−α)=1tan⁡(α)\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck β=90°−α\beta=90°-\alpha.

Anhand der Sinus-, Kosinus- und Tangensformeln sieht man:

Deshalb ist   sin⁡(90°−α)=cos⁡(α)\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha).

Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne cos⁡(α)\cos(\alpha) auf die gleiche Weise wie oben.

Mit der Komplementbeziehung kannst du cos⁡(α)\cos(\alpha) mit sin⁡(90°−α)\sin(90°-\alpha) gleichsetzen.

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

Füge den Wert von β\beta ein, berechne das Ergebnis und runde es auf 22 Dezimalstellen.

sin⁡(β)=sin⁡(40°)≈0,59.\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0{,}59.

Deshalb ist cos⁡(α)≈0,59.\cos(\alpha)\approx0{,}59.

Supplementbeziehungen

Sinus

Kosinus

Tangens

Veranschaulichung

sin⁡(180°+α)=−sin⁡(α)  \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\; und   cos⁡(180°+α)=−cos⁡(α)  \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\; lassen sich hier testen:

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