Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.
Komplementbeziehungen sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos ( α ) \sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha) sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos ( α )
cos ( 9 0 ∘ − α ) = sin ( α ) \cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha) cos ( 9 0 ∘ − α ) = sin ( α )
tan ( 9 0 ∘ − α ) = 1 tan ( α ) \tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)} tan ( 9 0 ∘ − α ) = t a n ( α ) 1
Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck β = 90 ° − α \beta=90°-\alpha β = 90° − α
sin ( 90 ° − α ) = Gegenkathete Hypotenuse = b c \displaystyle \sin(90°-\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c} sin ( 90° − α ) = Hypotenuse Gegenkathete = c b cos ( α ) = Ankathete Hypotenuse = b c . \displaystyle \cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}. cos ( α ) = Hypotenuse Ankathete = c b . Deshalb ist sin ( 90 ° − α ) = cos ( α ) \;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha) sin ( 90° − α ) = cos ( α )
Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.
Beispiel Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne cos ( α ) \cos(\alpha) cos ( α )
Mit der Komplementbeziehung kannst du cos ( α ) \cos(\alpha) cos ( α ) sin ( 90 ° − α ) \sin(90°-\alpha) sin ( 90° − α )
cos ( α ) = sin ( 90 ° − α ) \displaystyle \cos(\alpha)=\sin(90°-\alpha) cos ( α ) = sin ( 90° − α ) Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.
sin ( 90 ° − α ) = sin ( β ) \displaystyle \sin(90°-\alpha)=\sin(\beta) sin ( 90° − α ) = sin ( β ) Füge den Wert von β \beta β 2 2 2
sin ( β ) = sin ( 40 ° ) ≈ 0 , 59. \sin(\beta)=\sin(40°)\approx0{,}59. sin ( β ) = sin ( 40° ) ≈ 0 , 59.
Deshalb ist cos ( α ) ≈ 0 , 59. \cos(\alpha)\approx0{,}59. cos ( α ) ≈ 0 , 59.
Supplementbeziehungen sin ( 180 ° + α ) = − sin ( α ) \sin(180° + \alpha)=-\sin(\alpha) sin ( 180° + α ) = − sin ( α )
cos ( 18 0 ∘ + α ) = − cos ( α ) \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha) cos ( 18 0 ∘ + α ) = − cos ( α )
tan ( 18 0 ∘ + α ) = + tan ( α ) \tan(180^\circ+\alpha)=+{\textstyle\tan}(\alpha) tan ( 18 0 ∘ + α ) = + tan ( α )
sin ( 180 ° − α ) = + sin ( α ) \sin(180°-\alpha)=+\sin(\alpha) sin ( 180° − α ) = + sin ( α )
cos ( 180 ° − α ) = − cos ( α ) \cos(180°-\alpha)=-\cos(\alpha) cos ( 180° − α ) = − cos ( α )
tan ( 18 0 ∘ − α ) = − tan ( α ) \tan(180^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha) tan ( 18 0 ∘ − α ) = − tan ( α )
sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin ( α ) \sin(360^\circ-\alpha)=-\sin(\alpha) sin ( 36 0 ∘ − α ) = − sin ( α )
cos ( 36 0 ∘ − α ) = + cos ( α ) \cos(360^\circ-\alpha)=+\cos(\alpha) cos ( 36 0 ∘ − α ) = + cos ( α )
tan ( 36 0 ∘ − α ) = − tan ( α ) \tan(360^\circ-\alpha)=-\tan(\alpha) tan ( 36 0 ∘ − α ) = − tan ( α )
Veranschaulichung sin ( 180 ° + α ) = − sin ( α ) \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\; sin ( 180° + α ) = − sin ( α ) cos ( 180 ° + α ) = − cos ( α ) \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\; cos ( 180° + α ) = − cos ( α )
Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von
GeoGebra geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer
Datenschutzerklärung .
[https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2862183]
Du hast noch nicht genug vom Thema? Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:
Artikel 
