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Beziehungen trigonometrischer Funktionen

Sinus, Kosinus und Tangens stehen in unterschiedlichen Beziehungen. Hierbei unterscheidet man zwischen der Komplementbeziehung und der Supplementbeziehung.

Komplementbeziehungen

  • sin(90α)=cos(α)\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)

  • cos(90α)=sin(α)\cos(90^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)

  • tan(90α)=1tan(α)\tan(90^\circ-\alpha)=\frac1{\tan(\alpha)}

Da in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer 180° ist, gilt in einem rechtwinkligen Dreieck β=90°α\beta=90°-\alpha.

Deshalb ist   sin(90°α)=cos(α)\;\sin(90°-\alpha)=\cos(\alpha).

Die anderen Gleichungen lassen sich auf gleiche Weise erklären.

Beispiel

Betrachte das gegebene Dreieck. Berechne cos(α)\cos(\alpha) auf die gleiche Weise wie oben.

Mit der Komplementbeziehung kannst du cos(α)\cos(\alpha) mit sin(90°α)\sin(90°-\alpha) gleichsetzen.

Wegen der Summe der Innenwinkel gilt folgende Gleichung.

Füge den Wert von β\beta ein, berechne das Ergebnis und runde es auf 22 Dezimalstellen.

sin(β)=sin(40°)0,59.\sin(\beta)=\sin(40°)\approx0{,}59.

Deshalb ist cos(α)0,59.\cos(\alpha)\approx0{,}59.

Supplementbeziehungen

Sinus

Kosinus

Tangens

Veranschaulichung

sin(180°+α)=sin(α)  \sin(180°+\alpha)=-\sin(\alpha)\; und   cos(180°+α)=cos(α)  \;\cos(180°+\alpha)=-\cos(\alpha)\; lassen sich hier testen:

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