Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Dieser Artikel erklärt an Beispielen:
- Wie kann man diese Funktionen berechnen?
- Was sind Gegenkathete, Hypotenuse und Ankathete?
- Welche Rechenregeln gibt es?
Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert:
%%\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}%%
%%\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}%%
%%\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}%%
%%\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}%%
%%\cos(\alpha)=\dfrac{b}{c}%%
%%\tan(\alpha)=\dfrac{a}{b}%%
Dabei bezeichnet man als "Ankathete" die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel %%\alpha%% einschließt. Die "Gegenkathete" ist die Kathete die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).
Die "Ankathete" wird hier mit einem %%b%%, die "Gegenkathete" mit einem %%a%% und die Hypothenuse mit einem %%c%% bezeichnet.
Beachte: Die Seite %%a%% liegt gegenüber dem Winkel %%\alpha%%, %%\beta%% gegenüber %%b%% und %%c%% gegenüber %%\gamma%%. Wobei %%\gamma%% in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.
Wichtige Funktionswerte
Die folgende Wertetabelle zeigt die Funktionswerte des Kosinus, Sinus und Tangens:
%%\alpha%% |
%%0^{\circ}%% |
%%30^{\circ}%% |
%%45^{\circ}%% |
%%60^{\circ}%% |
%%90^{\circ}%% |
%%\cos(\alpha)%% |
%%1%% |
%%\dfrac{\sqrt3}2%% |
%%\dfrac{\sqrt2}2%% |
%%\dfrac12%% |
%%0%% |
%%\sin(\alpha)%% |
%%0%% |
%%\dfrac12%% |
%%\dfrac{\sqrt2}2%% |
%%\dfrac{\sqrt3}2%% |
%%1%% |
%%\tan(\alpha)%% |
%%0%% |
%%\dfrac{1}{\sqrt{3}}%% |
%%1%% |
%%\sqrt{3}%% |
%%-%% |
Achtung: Im Fall %%\tan\left(\alpha\right)% %% = 90° entsteht kein Dreieck.
Abhängigkeiten
Wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und einen Winkel gegeben hast, kannst du mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen die restlichen Seiten berechnen.
Hypotenuse %%c%% ist gegeben.
Ankathete %%b%% ist gegeben.
Gegenkathete %%a%% ist gegeben.
Diese Formeln erhält man, indem man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens je nach %%b%%, %%a%% und %%c%% auflöst.
Im ersten Fall, wenn die Hypothenuse c gegeben ist, geht das wie folgt.
%%\sin\alpha=\dfrac a c \Rightarrow a=\sin\alpha \cdot c%%
%%\cos\alpha=\dfrac b c \Rightarrow b=\cos \alpha\cdot c%%
Die weiteren Fälle ergeben sich ebenso.
Beispiel
Von einem bei %%C%% rechtwinkligen Dreieck %%\bigtriangleup\mathrm{ABC}%% ist die Länge der Hypotenuse %%c=4%% und der Winkel %%\alpha=30^\circ%% bekannt (erstes Schaubild).
Dann lassen sich die Längen der Ankathete %%b%% und der Gegenkathete %%a%% mithilfe des Sinus und des Kosinus berechnen:
%%b\;=\;\cos(\alpha)\cdot c=\;\cos(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac{\sqrt3}2\cdot4\;=\;2\sqrt3%%
%%a\;=\;\sin(\alpha)\cdot c\;=\;\sin(30^\circ)\cdot4\;=\;\dfrac12\cdot4\;=\;2%%
Rechenregeln
Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Kosinus und Tangens. Hier werden besprochen:
- Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus,
- der trigonometrische Pythagoras,
- die Addiotionstheoreme.
Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus
Direkt über die Definition von oben erhält man für den Tangens folgende alternative Darstellung:
$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Die Korrektheit dieser Gleichung kannst du auch einfach Nachrechnen:
%%\dfrac {\sin\alpha}{\cos\alpha}= \dfrac {\dfrac a c} {\dfrac b c}= \dfrac {a\cdot c}{b \cdot c}= \dfrac a b = \tan\alpha%%
Trigonometrischer Pythagoras
Aus der Definition am Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras direkt:
$$\left(\sin \alpha\right)^2+\left(\cos \alpha\right)^2=1$$
Eine ausführliche Erklärung findest du im Video weiter unten.
Additionstheoreme
Die Additionstheoreme ermöglichen es, den Sinus und den Kosinus einer Summe zu berechnen:
$$\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$$
LG,
Nish