Sinus, Kosinus und Tangens

Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Dieser Artikel erklärt an Beispielen:

Wie kann man diese Funktionen berechnen?
Was sind Gegenkathete, Hypotenuse und Ankathete?
Welche Rechenregeln gibt es?

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert:

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Dabei bezeichnet man als "Ankathete" die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel $\sf \alpha$ einschließt. Die "Gegenkathete" ist die Kathete die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).

Die "Ankathete" wird hier mit einem $\sf b$ , die "Gegenkathete" mit einem $\sf a$ und die Hypothenuse mit einem $\sf c$ bezeichnet.

Beachte: Die Seite $\sf a$ liegt gegenüber dem Winkel $\sf \alpha$ , $\sf \beta$ gegenüber $\sf b$ und $\sf c$ gegenüber $\sf \gamma$ . Wobei $\sf \gamma$ in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.

Wichtige Funktionswerte

Die folgende Wertetabelle zeigt die Funktionswerte des Kosinus, Sinus und Tangens:

Achtung: Im Fall $\sf \tan\left(\alpha\right)%$ = 90° entsteht kein Dreieck.

Abhängigkeiten

Wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und einen Winkel gegeben hast, kannst du mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen die restlichen Seiten berechnen.

Hypotenuse $\sf c$ ist gegeben.

Ankathete $\sf b$ ist gegeben.

Gegenkathete $\sf a$ ist gegeben.

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Diese Formeln erhält man, indem man die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens je nach $\sf b$ , $\sf a$ und $\sf c$ auflöst.

Im ersten Fall, wenn die Hypothenuse c gegeben ist, geht das wie folgt.

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Die weiteren Fälle ergeben sich ebenso.

Beispiel

Von einem bei $\sf C$ rechtwinkligen Dreieck $\sf \bigtriangleup{ABC}$ ist die Länge der Hypotenuse $\sf c=4$ und der Winkel $\sf \alpha=30^\circ$ bekannt (erstes Schaubild).

Dann lassen sich die Längen der Ankathete $\sf b$ und der Gegenkathete $\sf a$ mithilfe des Sinus und des Kosinus berechnen:

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Rechenregeln

Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Kosinus und Tangens. Hier werden besprochen:

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus,
der trigonometrische Pythagoras,
die Addiotionstheoreme.

Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Direkt über die Definition von oben erhält man für den Tangens folgende alternative Darstellung:

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Die Korrektheit dieser Gleichung kannst du auch einfach Nachrechnen:

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Trigonometrischer Pythagoras

Aus der Definition am Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras direkt:

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Eine ausführliche Erklärung findest du im Video weiter unten.

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme ermöglichen es, den Sinus und den Kosinus einer Summe zu berechnen:

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

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\displaystyle \sf \sin(\alpha)=\dfrac{\text{\sf Gegenkathete}}{\text{\sf Hypotenuse}}

Video zum Thema Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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CC BY-SA 4.0. → Was bedeutet das?

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