Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Hier findest du gemischte Aufgaben zu den Winkelfunktionen im Dreieck. Lerne, Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck anzuwenden!

Höhe eines Baums

Der Baum wirft bei schönem Wetter einen Schatten, mit der Länge $l=12~\text{m}$ .

Gemessen wird der Schatten unter einem Winkel von $30°$ .

Berechne die Höhe des Baums.

$6{,}93~\text{m}$
$6{,}34~\text{m}$
$5{,}12~\text{m}$

2
Seiten im rechtwinkligen Dreieck
1. Ordne die Begriffe den richtigen Seiten im Dreieck zu.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Richtige Zuordnung
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  Die Hypotenuse ist immer gegenüber des rechten Winkels.
  Die Ankathete liegt an dem Winkel $\alpha$ in diesem Beispiel.
  Die Gegenkathete liegen gegenüber des Winkels $\alpha$ in diesem Beispiel.
2. Welche der aufgestellten Gleichungen ist richtig?
  $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
  $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Die richtige Gleichung ist:
  $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  Die anderen Gleichungen sind nicht richtig, denn für den Kosinus gilt:
  $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
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Berechne die Seiten

Berechne die fehlenden Seiten der Dreiecke. Runde auf zwei Dezimalstellen.

$\alpha=55°$

$c=5~\text{cm}$

Berechne $\color{red}a$ .

$4{,}10~\cm$
$4{,}35~\cm$
$3{,}95~\cm$

$\beta=40°$

$a=6~\text{cm}$

Berechne $\color{red}c$ .

$7{,}83~\cm$
$7{,}46~\cm$
$7{,}08~\cm$

$\gamma=45°$

$a=4{,}5~\text{cm}$

Berechne $\color{red}c$ .

$3{,}18~\cm$
$3{,}33~\cm$
$2{,}95~\cm$

4
Schattenwurf
Heike ist $1{,}69\ \text{m}$ groß. Wie lang ist ihr Schatten, wenn die Sonnenstrahlen in einem Winkel von $30°$ auf den Boden auftreffen?
Gib das Ergebnis in Metern auf 2 Dezimalstellen gerundet an.
Schatten von Heike
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Lösung
Skizze der Aufgabe
$\ \overline{AC}\ =\$ Körpergröße von Heike $\ =\ 1{,}69\ m$
$\ \overline{AB}\ =\$ Länge von Heikes Schatten
Im obigen Dreieck gilt: $\ \text{tan}(30^{\circ})\ =\ \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$
$\ \text{tan}(30^{\circ})\ =\ \dfrac{1{,}69\ m}{\overline{AB}}\ \Rightarrow\ \overline{AB}\ =\ \dfrac{1{,}69\ m}{\text{tan}(30^{\circ})}$
$\ \overline{AB}\ \approx\ \frac{1{,}69\ m}{0.5774}$
$\ \overline{AB}\ \approx\ 2{,}93\ m$
Berechne die Länge des Schattens mithilfe des Tangens im rechtwinkligen Dreieck.
5
Winkel gesucht
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Rechteck mit den Seitenlängen $\mathrm a=5{,}0\;\mathrm{cm}$ und $\mathrm b=7{,}0\; \mathrm{cm}$ .
Berechne den Winkel $\alpha$ in ganzen Grad.
Skizze der Aufgabe
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus
Lösung
Mache dir als Erstes eine Skizze.
Zeichne ein Rechteck und trage den Winkel $\alpha$ ein.
Skizze der Aufgabe
Wenn du nun eine Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zum Mittelpunkt der Seite $\left[BC\right]$ einzeichnest, dann wird durch diese Hilfslinie der gesuchte Winkel $\alpha$ in zwei gleich große Teile geteilt.
Hilfsdreieck
Um den Winkel $\dfrac{\alpha}{2}$ auszurechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Man kann $\dfrac{\alpha}{2}$ mit dem Sinus ausrechnen, oder
man kann $\dfrac{\alpha}{2}$ mit dem Tangens berechnen.
Mathematisch einfacher ist die Lösung mit dem Tangens.
Lösung mit Hilfe des Sinus
Zunächst rechnen wir die Strecke von $A$ nach $C$ aus und erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{AC} &=& \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2}\\ \overline{AC} &=& \sqrt{(7\text{cm})^2 + (5\text{cm})^2} \\ \overline{AC} &=& \sqrt{74}\text{cm} \end{array}$
Um den Winkel $\alpha$ auszurechen, teilen wir die Strecke von $A$ nach $C$ und die Strecke von $A$ nach $B$ jeweils durch $2.$ Somit können wir den Sinus anwenden um $\dfrac{\alpha}{2}$ auszurechnen. Danach multiplizieren wir den ausgerechneten Winkel mit $2$ und erhalten den gesuchten Winkel $\alpha$ .
$\dfrac{\overline{BC}}{2}=\dfrac{5\text\ {cm}}{2}=2{,}5\text\ {cm}$
$\dfrac{\overline{AC}}{2}=\dfrac{\sqrt{74}}{2}\text{cm}$
$\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\dfrac{\overline{BC}}{2}}{\dfrac{\overline{AC}}{2}}=\dfrac{2{,}5}{\dfrac{\sqrt{74}}{2}}$
$\alpha = 2\cdot \sin^{-1}\dfrac{2{,}5}{\left(\dfrac{\sqrt{74}}{2}\right)} \approx 71°$

Rechnen im Dreieck

Diese Skizze zeigt ein nicht maßgetreues, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h=8\,\mathrm{cm}$ und den Winkeln $\mathrm\alpha=65^\circ$ und $\beta=80^\circ$ .

Berechne die Seitenlänge $a$ . Runde dabei auf zwei Dezimalstellen.

Berechne die Seitenlänge $b$ . Runde dabei auf zwei Dezimalstellen.

Der Umfang der Erde

Der griechische Mathematiker Eratosthenes hat vor über 2000 Jahren den Umfang der Erde berechnet.

Dazu brauchte er nur zwei Orte:

Einen tiefen Brunnen in Assuan und
den Obelisken in Alexandria

Sobald die Sonne genau über dem Brunnen in Assuan stand, wurde in Alexandria vermessen, wie groß der Schatten am Obelisk war.

Wie Eratosthenes werden wir auf diese Weise den Umfang der Erde berechnen.

Schatten in Alexandria

In Alexandria befindet sich der Obelisk der Kleopatra.

Er ist $20~\text{m}$ hoch und warf einen Schatten von $2{,}5~\text{m}$ .

Berechne den Winkel $\alpha$ in der Spitze des Obelisken. Runde dabei auf zwei Stellen.

Die Suche nach dem Winkel
Der Winkel $\alpha$ am Obelisk ist sehr wichtig. In der Skizze ist $\alpha$ noch einmal zu finden, klicke ihn an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Lösung
Der Winkel $\alpha$ ist als Wechselwinkel im Dreieck von Alexandria, Assuan und dem Erdmittelpunkt zu finden.
Der Winkel $\alpha$ beschreibt damit auf eine gewisse Art die Distanz zwischen Alexandria und Assuan.
Lösung im Bild
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In der Skizze sind die gestrichelte Linie und die Linie nach Assuan parallel.
In so einer Konstruktion lohnt es sich nach Scheitelwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel zu suchen. Welchen findest du?

Der Umfang der Erde

Die Strecke von Alexandria nach Assuan wurde von den Soldaten des Pharaos abmarschiert, um sie zu messen: $787{,}5~\text{km}$

Diese Strecke steht zum Erdumfang im gleichen Verhältnis, wie der Winkel $\alpha$ zum vollen Winkel $360°$ .

Berechne damit den Erdumfang in ganzen $\text{km}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \tan(30°)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle \tan(30°)$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{h}}{12\ m}$	$\displaystyle \cdot12\ m$
	↓	Umformen
$\displaystyle \tan\left(30°\right)\cdot12\ m$	$=$	$\displaystyle h$
$\displaystyle h$	$≈$	$\displaystyle 6{,}93\ m$

$\displaystyle \sin\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
	↓	Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
$\displaystyle \sin(55°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{a}}{5~\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot 5~\text{cm}$
$\displaystyle \sin(55°)\cdot 5~\text{cm}$	$=$	$\displaystyle a$
$\displaystyle a$	$≈$	$\displaystyle 4{,}095...$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$≈$	$\displaystyle 4{,}10~\text{cm}$

$\displaystyle \cos\beta$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
	↓	Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
$\displaystyle \cos(40°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6~\text{cm}}{c}$	$\displaystyle \cdot c$
$\displaystyle c\cdot\cos(40°)$	$=$	$\displaystyle 6~\text{cm}$	$\displaystyle :\cos(40°)$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6~\text{cm}}{\cos(40°)}$
	$=$	$\displaystyle 7{,}832...$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$≈$	$\displaystyle 7{,}83~\text{cm}$

$\displaystyle \sin\gamma$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
	↓	Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
$\displaystyle \sin(45°)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{c}{4{,}5~\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot 4{,}5~\text{cm}$
$\displaystyle \sin(45°)\cdot 4{,}5~\text{cm}$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \sin(45°)\cdot 4{,}5~\text{cm}$
	$=$	$\displaystyle 3{,}181...$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$≈$	$\displaystyle 3{,}18~\text{cm}$

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{h}$	$\displaystyle \cdot h$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \tan\alpha\ \cdot h$
	↓	Setze die Werte für $\alpha$ und $h$ ein.
	$=$	$\displaystyle \tan\left(65°\right)\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 17{,}156...$
	↓	Runde auf zwei Dezimalstellen.
	$≈$	$\displaystyle 17{,}16\ \text{cm}$

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Höhe eines Baums

Rechtwinkliges Dreieck untersuchen

Höhe berechnen

Seiten im rechtwinkligen Dreieck

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Schattenwurf

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Rechnen im Dreieck

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Schatten in Alexandria

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Die Suche nach dem Winkel

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Der Umfang der Erde

Lösung

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$\displaystyle \tan\beta$	$=$	$\displaystyle \frac{a+b}{h}$	$\displaystyle \cdot h$
$\displaystyle a+b$	$=$	$\displaystyle \tan\beta\cdot h$
	↓	Setze die Werte für $\beta$ und $h$ ein.
	$=$	$\displaystyle \tan\left(80°\right)\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 45{,}370...$
	↓	Runde auf zwei Dezimalstellen.
	$≈$	$\displaystyle 45{,}37$

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}5}{20}$
	↓	Verwende $\tan^{-1}()$ auf beiden Seiten
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{2{,}5}{20}\right)$
	$=$	$\displaystyle 7{,}125...°$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$≈$	$\displaystyle 7{,}13°$

$\displaystyle \frac{360°}{7{,}13°}$	$=$	$\displaystyle \frac{\text{Erdumfang}}{787{,}5~\text{km}}$	$\displaystyle \ \cdot787{,}5$
$\displaystyle \frac{360°}{7{,}13°}\cdot787{,}5\$	$=$	$\displaystyle \text{Erdumfang}$
$\displaystyle \text{Erdumfang}$	$=$	$\displaystyle 39761{,}57...\ \text{km}$
	$≈$	$\displaystyle 39762\ \text{km}$