Rechnen mit Proportionalitäten

Größen berechnen

Weiß man, dass die Zuordnung proportional ist und kennt den Proportionalitätsfaktor $p$, so berechnet man die gefragte Größe $x$, indem man die Grundgröße $y$ mit dem Proportionalitätsfaktor multipliziert:

$x = p \cdot y$

Achtung:

Je nachdem, was in der Aufgabenstellung gefragt ist, kann die Grundgröße und zugeordnete Größe verschieden sein. Wichtig ist, dass die gefragte Größe immer die zugeordnete Größe ist.

Beispiel

Kosten $5$ Rosen $7{,}50$ €, so ist der Preis proportional zur Anzahl der Rosen.

• Nun möchte man den Preis für $2$ Rosen berechnen. Die Anzahl an Rosen ist also die Grundgröße, der Preis die zugeordnete Größe (da danach gefragt ist)  und man berechnet den Proportionalitätsfaktor, indem man den Preis durch die Anzahl an Rosen dividiert, also  $7{,}50:5=1{,}5$. Der Preis für $2$ Rosen ist dann die Anzahl multipliziert mit dem Proportionalitätsfaktor, also  $2\cdot1{,}5=3$ und $2$ Rosen kosten $3$ €.

• Möchte man aber wissen, wie viele Rosen man für 6 € bekommt, ist der Preis die Grundgröße und die Anzahl die zugeordnete Größe. Nun berechnet man den Proportionalitätsfaktor also, indem man die Anzahl an Rosen durch den Preis dividiert, also $5:7{,}50=0,\overline6$ und kann durch Proportionalitätsfaktor mal Grundgröße, also $0,\overline6\cdot6=4$ berechnen, dass man mit $6$ € $4$ Rosen bekommt.

Proportionalitätsfaktor berechnen

Um den Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung zu berechnen, genügt es, sich ein Wertepaar herauszunehmen und diese zu dividieren; und zwar immer so, dass man die zugeordnete Größe durch die Grundgröße dividiert. Im Schaubild bedeutet dies, einen Wert der $y$-Achse durch einen Wert der $x$-Achse zu dividieren.

Auf Proportionalität prüfen

Um verschiedene Werte auf Proportionalität zu prüfen, genügt es, überall den Proportionalitätsfaktor zu berechnen. Ist dieser überall gleich, so sind die Werte proportional zueinander.

Direkte Proportionalität - Proportionalitätsfaktor

Indirekte Proportionalität - Proportionalitätskonstante

Bei der indirekten Proportionalität (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Größen immer konstant. Dieses Produkt wird als Proportionalitätskonstante $C$ bezeichnet und es gilt: $y\cdot x=C$ oder $y = \frac{C}{x}$.

Wenn also das Produkt zweier Größen immer konstant ist, sind die Größen indirekt proportional.