Direkte Proportionalität

Zwei Größen sind dann direkt proportional zueinander, wenn die eine Größe aus der anderen hervorgeht, indem man sie mit immer dem gleichen Faktor multipliziert.

$\Rightarrow\text{Größe 2}=\text{Größe 1}\cdot\text{gleichbleibenden Faktor}$

Anders ausgedrückt: Bei der direkten Proportionalität zweier Größen ist das Verhältnis dieser Größen - also ihr Quotient - immer gleich. Das ist genau wie bei einem Bruch, dessen Wert sich nicht ändert, wenn man ihn kürzt oder erweitert.

$\Rightarrow \frac{\text{Größe 2}}{\text{Größe 1}}=\text{gleichbleibenden Faktor}$

Beispiel

Für je ein Kilogramm Kirschen zahlst du in einem Laden $8€$ . Der Zusammenhang zwischen Preis und Gewicht der Kirschen ist direkt proportional.

$\textcolor{orange}2$ Kilogramm kosten $\textcolor{orange}{2}\cdot8€=\textcolor{green}{16}€$ .

$\textcolor{orange}{3}$ Kilogramm kosten $\textcolor{orange}{3}\cdot8€=\textcolor{green}{24}€$ .

$\textcolor{orange}{4}$ Kilogramm kosten $\textcolor{orange}{4}\cdot8€=\textcolor{green}{32}€$ .

...

$\textcolor{orange}{x}$ Kilogramm kosten $\textcolor{orange}{x}\cdot8€$ .

Um auf den Preis zu kommen, multiplizierst du das Gewicht der Kirschen, immer mit der gleichen Zahl - dem Preis für je ein Kilo Kirschen.

Darstellung

Die direkte Proportionalität wird mit dem Zeichen $\sim$ verdeutlicht.

$a\sim b$ bedeutet also " $a$ ist direkt proportional zu $b$ ".

Beispiel

Gewicht der Kirschen $\sim$ Preis der Kirschen

Begrifflichkeit

Größe 1 ist die Grundgröße, Größe 2 die zugeordnete Größe.
Das Verhältnis, in dem die beiden Größen zueinander stehen, wird auch Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.
$\textcolor{violet}{\text{Proportionalitätsfaktor}}=\frac{\textcolor{green}{\text{zugeordnete Größe}}}{\textcolor{orange}{\text{Grundgröße}}}$

Beispiel

Im obigen Beispiel ist das Gewicht der Kirschen die $\textcolor{orange}{\text{Grundgröße}}$ und der Preis der Kirschen die $\textcolor{green}{\text{zugeordnete Größe}}$ .

Der Preis ist proportional zum Gewicht. Die Proportionalitätskonstante ergibt sich aus dem Verhältnis der Grundgröße und der zugeordneten Größe. Hier ist die Proportionalitätskonstante $\textcolor{violet}{8}$ .

Möchte man wissen, wie viel 10 Kilo Kirschen kosten, multipliziert du das Gewicht mit dem Proportionalitätsfaktor:

$\textcolor{orange}{10}\cdot\textcolor{violet}{8}€=\textcolor{green}{80}€$ $\;\;\Rightarrow\;\;$ 10 Kilo Kirschen kosten 80 €.

Der Funktionsgraph einer direkten Proportionalität

Trägt man alle berechneten Werte so in ein Koordinatensystem ein, dass auf der $x$ -Achse die Werte der Grundgröße und auf der $y$ -Achse die Werte der zugeordneten Größe stehen, dann ergibt sich immer eine Ursprungsgerade mit der Formel $\textcolor{green}{f(x)}=\textcolor{violet}{m}\cdot \textcolor{orange}{x}$ . Dabei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor, welcher zugleich die Geradensteigung angibt.

Beispiel

Aus dem obigen Beispiel ergibt sich so ein Koordinatensystem, bei dem auf der x-Achse die Menge an Kirschen in kg steht. Die y-Achse beschreibt den Preis.

Die Funktionsgleichung der Zuordnung ist: $f(x)=8x$

Eine mögliche Wertetabelle könnte sein:

$x$	1	2	3	4	5	6
$f(x)$	8	16	24	32	40	48

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