Direkte Proportionalität

Zwei Größen sind dann direkt proportional zueinander, wenn die eine Größe aus der anderen hervorgeht, indem man sie mit immer dem gleichen Faktor multipliziert.

$\Rightarrow Größe 2 = Größe 1 \cdot gleichbleibenden Faktor$

Anders ausgedrückt: Bei der direkten Proportionalität zweier Größen ist das Verhältnis dieser Größen - also ihr Quotient - immer gleich. Das ist genau wie bei einem Bruch, dessen Wert sich nicht ändert, wenn man ihn kürzt oder erweitert.

$\Rightarrow \frac{Größe 2}{Größe 1} = gleichbleibenden Faktor$

Beispiel

Für je ein Kilogramm Kirschen zahlst du in einem Laden $8 €$ . Der Zusammenhang zwischen Preis und Gewicht der Kirschen ist direkt proportional.

$2$ Kilogramm kosten $2 \cdot 8 € = 16 €$ .

$3$ Kilogramm kosten $3 \cdot 8 € = 24 €$ .

$4$ Kilogramm kosten $4 \cdot 8 € = 32 €$ .

...

$x$ Kilogramm kosten $x \cdot 8 €$ .

Um auf den Preis zu kommen, multiplizierst du das Gewicht der Kirschen, immer mit der gleichen Zahl - dem Preis für je ein Kilo Kirschen.

Darstellung

Die direkte Proportionalität wird mit dem Zeichen $\sim$ verdeutlicht.

$a \sim b$ bedeutet also " $a$ ist direkt proportional zu $b$ ".

Beispiel

Gewicht der Kirschen $\sim$ Preis der Kirschen

Begrifflichkeit

Größe 1 ist die Grundgröße, Größe 2 die zugeordnete Größe.
Das Verhältnis, in dem die beiden Größen zueinander stehen, wird auch Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.
$Proportionalitätsfaktor = \frac{zugeordnete Größe}{Grundgröße}$

Beispiel

Im obigen Beispiel ist das Gewicht der Kirschen die $Grundgröße$ und der Preis der Kirschen die $zugeordnete Größe$ .

Der Preis ist proportional zum Gewicht. Die Proportionalitätskonstante ergibt sich aus dem Verhältnis der Grundgröße und der zugeordneten Größe. Hier ist die Proportionalitätskonstante $8$ .

Möchte man wissen, wie viel 10 Kilo Kirschen kosten, multipliziert du das Gewicht mit dem Proportionalitätsfaktor:

$10 \cdot 8 € = 80 €$ $\Rightarrow$ 10 Kilo Kirschen kosten 80 €.

Der Funktionsgraph einer direkten Proportionalität

Trägt man alle berechneten Werte so in ein Koordinatensystem ein, dass auf der $x$ -Achse die Werte der Grundgröße und auf der $y$ -Achse die Werte der zugeordneten Größe stehen, dann ergibt sich immer eine Ursprungsgerade mit der Formel $f (x) = m \cdot x$ . Dabei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor, welcher zugleich die Geradensteigung angibt.

Beispiel

Aus dem obigen Beispiel ergibt sich so ein Koordinatensystem, bei dem auf der x-Achse die Menge an Kirschen in kg steht. Die y-Achse beschreibt den Preis.

Die Funktionsgleichung der Zuordnung ist: $f (x) = 8 x$

Eine mögliche Wertetabelle könnte sein:

$x$	1	2	3	4	5	6
$f (x)$	8	16	24	32	40	48

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