Dieser Artikel beschäftigt sich mit Geraden als Graphen linearer Funktionen, also Funktionen der Form .
Die Steigung einer Geraden gibt an, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes verändert, wenn sich seine x-Koordinate um eine Einheit verändert. Anders gesagt: Die Steigung einer Geraden misst, wie steil sie ansteigt.
Geradensteigung berechnen
Die Steigung einer Geraden lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten und , die auf der Geraden liegen, bestimmen:
Dabei ist es egal, welche Punkte man wählt, der Quotient hat immer den selben Wert.
Beispiel
Man bestimme die Steigung der gegebenen Gerade. Hierzu sucht man sich zwei Punkte aus, beispielweise wie in der Skizze und . Dabei nennt man das gezeichnete Dreieck Steigungsdreieck.
Man bestimmt und , also den Unterschied der y-Koordinaten und x-Koordinaten der gegebenen Punkte …
… und setzt die Längenwerte für und in die Formel ein.
Die Gerade hat also die Steigung:
Von der Steigung zum Steigungsdreieck
Man nimmt zwei beliebige Punkte der Geraden im Koordinatensystem und zeichnet zwischen ihnen zu den Koordinatenachsen parallele Verbindungslinien, die dann ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.
Gegeben ist die Gerade . Zeichne die Gerade mit Steigungsdreieck in ein Koordinatensystem ein.
Steigung 2 bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach oben"
Steigung -1 bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheiten nach nach unten"
Steigung bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach nach oben"
Steigung bedeutet:
"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2 Längeneinheiten nach nach unten"
Vom Steigungsdreieck zur Steigung
Sind zwei Punkte der Geraden gegeben, lässt sich zwischen ihnen ein Steigungsdreieck einzeichnen.
Die Steigung der Geraden ist dann die Länge der senkrechten Kathete (Gegenkathete) geteilt durch die Länge der waagrechten Kathete (Ankathete). Die Steigung ist positiv, falls die Gerade steigt und negativ, falls die Gerade fällt.
Daraus ergibt sich auch wieder die gleiche Gleichung wie oben:
Lies die Steigung folgender Gerade ab:
Senkrechte und parallele Geraden
Gegeben sind zwei Geraden mit ihren beiden Geradengleichungen
Beispiel:
Beispiel:
Steigungswinkel
Der Steigungswinkel gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zur -Achse steht. Der Steigungswinkel einer Geraden erfüllt
Steigung von speziellen Geraden
Die Steigung einer Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft, ist 0.
In diesem Fall ist die zugehörige Funktion konstant.
Eine Gleichung für so eine Funktion wäre .
Die Steigung einer Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, wäre "unendlich".
Es kann allerdings keine Funktion in Abhängigkeit von mit einer solchen Gerade als Graphen geben, da dem gleichen x-Wert verschiedene y-Werte zugeordnet werden müssten.
Trotzdem lässt sich eine solche Gerade durch eine Gleichung von der Form beschreiben.
die Steigung in deinem Beispiel wäre %%\frac{10}{2000}=\frac{1}{200}=5\cdot10^{-3}%%, wenn deine Gerade in diesem Koordinatensystem ein Steigungsdreieck mit einem Kästchen nach rechts und einem Kästchen nach oben besitzt.
LG,
Nish